Wenn es eine Gleichung gibt, wie [math]100=2^x[/math], dann haben wir bisher kein Werkzeug kennengelernt, um so eine Gleichung nach [math]x[/math] aufzulösen. Das geschieht mit einer Logarithmusfunktion. [br][br]Logarithmusfunktionen sind [b]Umkehrfunktionen [/b]von Exponentialfunktionen. Das heißt, die Logarithmusfunktion macht die Wirkung der Exponentialfunktion wieder rückgängig. Daher sind auch Exponentialfunktionen die Umkehrfunktionen der Logarithmusfunktionen.[br][br]Weil es unendlich viele verschiedene Exponentialfunktionen [math]a^x[/math] gibt - wir können ja für die Basis [math]a[/math] jede beliebige Zahl wählen - gibt es auch unendlich viele Logarithmusfunktionen:[br][br]Die Umkehrfunktion von [math]a^x[/math] ist [math]log_a(x)[/math], also [i]der Logarythmus von[/i] [math]x[/math] [i]zur Basis[/i] [math]a[/math]. [br]Die Umkehrfunktion von [math]2^x[/math] ist [math]log_2(x)[/math], also [i]der Logarythmus von[/i] [math]x[/math] [i]zur Basis[/i] [math]2[/math]. [br]Die Umkehrfunktion von [math]5^x[/math] ist [math]log_5(x)[/math], also [i]der Logarythmus von[/i] [math]x[/math] [i]zur Basis[/i] [math]5[/math]. [br]...[br][color=#980000]Die Umkehrfunktion der [b]e-Funktion[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{exp(x)=e^x}[/math] [color=#980000]ist der [b]natürliche Logarithmus[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{ln(x)}[/math]. [br][br]Es gilt: [br][math]log_a(a^\mathbf{\fgcolor{red}{ x}})=a^{log_a(\mathbf{\fgcolor{red}{x}})}=\mathbf{\fgcolor{red}{x}}[/math][br][math]log_2(2^\mathbf{\fgcolor{red}{x}})=2^{log_2(\mathbf{\fgcolor{red}{x}})}=\mathbf{\fgcolor{red}{x}}[/math][br][math]log_{1,2}(1,2^\mathbf{\fgcolor{red}{x}})=1,2^{log_{1,2}(\mathbf{\fgcolor{red}{x}})}=\mathbf{\fgcolor{red}{x}}[/math][br] oder [math]ln(e^\mathbf{\fgcolor{red}{x}})=e^{ln(\mathbf{\fgcolor{red}{x}})}=\mathbf{\fgcolor{red}{x}}[/math][br][br]Das heißt, wenn man eine Funktion und eine Umkehrfunktion nacheinander ausführt, dann ändert sich nichts. [br][br]Die Lösung von [math]2^x=100[/math] erhält man also, indem man auf beide Seiten der Gleichung den Logarithmus zur Basis [math]2[/math] anwendet: [br][math]2^x=100[/math][br] [math]log_2(2^x)=log_2(100)[/math] [br]also [math]x=log_2(100)[/math].

[color=#980000][size=150]Ist der Funktionsgraph einer Funktion [math]\fgcolor{#980000}{f(x)}[/math] gegeben, dann ist der Funktionsgraf der Umkehrfunktion [math]\fgcolor{#980000}{\overline{f}(x)}[/math] der Funktionsgraph von [math]\fgcolor{#980000}{f(x)}[/math], nur an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gespiegelt. [/size][/color][br][br]In der folgenden App kann das an Hand von Exponentialfunktionen und der dazu passenden Logarithmusfunktionen beobachtet werden: