Um polinômio na variável [math]x[/math] é uma expressão algébrica que envolve apenas as operações adição, subtração e multiplicação entre números e a variável [math]x[/math]. Por exemplo, [math]2x^2-10x+12[/math] é um polinômio pois[br][center][math] [br]2x^2-10x+12=2\times x\times x-10\times x+12.[br][/math][/center][br][br]Da mesma forma, [math]2(x-2)(x-3)[/math] também é um polinômio pois[br][center][math] [br]2(x-2)(x-3)=2\times (x-2)\times(x-3).[br][/math][/center][br]Já [math]\frac{1}{x+1}[/math], [math]\sqrt{x^2+1}[/math] e [math]|x-1|[/math] [i]não são[/i] polinômios, pois nessas expressões aparecem operações diferentes da adição, subtração e multiplicação. Mas note que [math]\sqrt{2}x^3-\frac{1}{2}[/math] é um polinômio, pois [math]\sqrt{2}[/math] e [math]\frac{1}{2}[/math] são apenas maneiras de representarmos certos números reais ([math]\sqrt{2}=1.41421\cdots[/math] e [math]\frac{1}{2}=0.5[/math]).[br][br][br]Podemos pensar um polinômio como uma máquina que pega um certo número [math]x[/math] e calcula um certo número [math]p(x)[/math] usando apenas as operações de adição, subtração e multiplicação. Por exemplo, se [math]p(x)=x^2+1[/math], temos que [math]p(1)=1^2+1=2[/math], [math]p(-1)=(-1)^2+1=2[/math], [math]p(2)=2^2+1=5[/math] etc.[br][br]

Considere os polinômios [math]p(x)=2x^2-10x+12[/math] e [math]q(x)=2(x-2)(x-3)[/math] que mencionamos anteriormente. Desenvolvendo [math]q(x)[/math], temos que[br][center][math][br]q(x)=2(x-2)(x-3)=2(x^2-3x-2x+6)=2x^2-10x+12=p(x),[br][/math][/center][br]ou seja, [math]p(x)[/math] e [math]q(x)[/math] são duas "máquinas" que calculam sempre o mesmo resultado para as mesmas entradas. Ou de outra forma, são representações diferentes do mesmo polinômio. Dizemos que [math]p(x)[/math] está na [i]forma expandida[/i] e que [math]q(x)[/math] está na [i]forma fatorada[/i].[br] [br]É muito fácil passar um polinômio da forma fatorada para a forma expandida, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição, por exemplo, [br][center][math][br](x-1)(x+1)(x+2)=(x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2,[br][/math][/center]O [i]grau[/i] de um polinômio em [math]x[/math] é o valor do maior expoente de [math]x[/math] na forma expandida. Por exemplo, [math]x+1[/math] é um polinômio de grau 1 (ou [i]linear[/i]), [math]x^2-5x+1[/math] é um polinômio de grau 2 (ou [i]quadrático[/i]), [math]x^2(x-9)[/math] é um polinômio de grau 3 (ou [i]cúbico[/i]) etc.[br] [br]Mas o problema inverso, pegar um polinômio na forma expandida e [i]fatorá-lo[/i] como um produto de dois polinômios de grau menor parece ser mais difícil. Na verdade, não está claro que sempre podemos fatorar um polinômio. Por exemplo, como fatorar[br][math]x^2+1[/math]?

Temos uma boa e uma má notícia. A boa notícia é que [i]qualquer polinômio (não constante) pode ser fatorado como um produto de fatores lineares[/i], resultado conhecido como [i]Teorema Fundamental da Álgebra[/i]. Alguns desses fatores podem envolver números complexos, mas isso não é um problema. Por exemplo, usando o fato que o número imaginário puro [math]i[/math] satisfaz a propriedade [math]i^2=-1[/math], temos que [br][center][br][math](x-i)(x+i)=x^2+ix-ix-i^2=x^2-(-1)=x^2+1[/math],[br][/center][br]Portanto a forma fatorada do polinômio [math]x^2+1[/math] é [math](x-i)(x+i)[/math].[br][br]A má notícia é que pode ser muito difícil obter a fatoração do polinômio, ou seja, o Teorema Fundamental da Álgebra diz que a fatoração é possível, mas não que seja fácil. A seguir veremos algumas técnicas que nos ajudam a fatorar um polinômio.

Mas antes de tratar dessas técnicas, por que mesmo estamos preocupados com esse problema de fatorar polinômios? A resposta vem da junção de dois fatos: [br][list=1][br][*]muitos problemas recaem na solução de equações ou inequações polinomiais; [br][/*][*]equações ou inequações polinomiais são mais facilmente resolvidas na forma fatorada.[br][/*][/list][br]Por exemplo, no problema das duas torneiras precisamos resolver a equação [math]x^2-7x-30=0[/math] que é uma equação polinomial pois é da forma [math]p(x)=0[/math] onde [math]p(x)[/math] é um polinômio. É fácil verificar que [br][center][math]x^2-7x-30=(x+3)(x-10)[/math],[/center][br]portanto na forma fatorada a equação fica assim:[br][center][math][br](x+3)(x-10)=0.[br][/math][/center][br]Agora fica muito mais fácil descobrir as soluções da equação, pois quando é que o produto [math]ab[/math] de dois números é zero? Apenas se [math]a=0[/math] ou [math]b=0[/math]. Assim, [br][center][math][br](x+3)(x-10)=0 \Leftrightarrow x=-3\text{ ou }x=10,[br][/math][/center][br]onde o símbolo [math]\Leftrightarrow[/math] significa [i]se, e somente se,[/i] ou [i]é equivalente a,[/i] ou seja, se [math]x[/math] é uma solução de [math](x+3)(x-10)=0[/math], então [math]x=-3[/math] ou [math]x=10[/math] e [math]x=-3[/math] e [math]x=10[/math] são de fato soluções da equação. [br][br]Da mesma forma, veremos que inequações polinomiais, ou seja, inequações da forma [math]p(x)\geq 0[/math] ou [math]p(x) > 0[/math] com [math]p(x)[/math] polinômio são mais facilmente resolvidas se [math]p(x)[/math] está na forma fatorada.

Podemos fatorar um polinômio através do uso de identidades e manipulações algébricas. Vejamos alguns exemplos:[br][br][b]Examplo:[/b] Fatore [math]x^3-5x^2-x+5[/math].[br][br][center][math]x^3-5x^2-x+5=x^2(x-5)-(x-5)=(x-5)(x^2-1)=(x-5)(x+1)(x-1)[/math][/center][br][br][b]Examplo:[/b] Fatore [math]x^3+9x^2+27x+19[/math].[br][br]Esse polinômio parece muito com a expansão de [math](x+3)^3[/math], vamos forçar para que ela apareça:[br][center][math]x^3+9x^2+27x+19=x^3+9x^2+27x+27-8=(x+3)^3-2^3[/math].[/center][br]Agora temos uma diferença de cubos:[br][center][math](x+3)^3-2^3=(x+3-2)((x+3)^2+2(x+3)+2^2)[/math],[/center][br]donde concluímos que [br][center][math]x^3+9x^2+27x+19=(x+1)(x^2+8x+19)[/math].[/center][br][br][b]Examplo:[/b] Fatore [math]y^{6}-2y^3+1[/math].[br][br]Fazendo [math]x=y^3[/math], temos que [br][br][center][math]y^{6}-2y^3+1=x^2-2x+1=(x-1)^2[/math][/center][br]Portanto[br][center][math]y^{6}-2y^3+1=(y^3-1)^2[/math].[/center][br]Mas [math]y^3-1[/math] é uma diferença de cubos, assim[br][center][math]y^{6}-2y^3+1=\left((y-1)(y^2+y+1)\right)^2=(y-1)^2(y^2+y+1)^2[/math].[/center][br][br]

Um número [math]a[/math] é uma [i]raiz[/i] de um polinômio [math]p(x)[/math] se [math]p(a)=0[/math]. É claro que se [math]p(x)=q(x)(x-a)[/math], então [math]a[/math] é uma raiz de [math]p(x)[/math]. Mas usando o algoritmo de divisão de polinômios, que é bem semelhante ao algoritmo de divisão com resto de números inteiros, é possível mostrar o inverso, pois como [math]p(x)=q(x)(x-a)+r[/math] pelo algoritmo da divisão, se [math]a[/math] é uma raiz de [math]p(x)[/math] então [math]r=0[/math]. Assim, [math]a[/math] é uma raiz de [math]p(x)[/math] se, e somente se, o resto da divisão de [math]p(x)[/math] por [math]x-a[/math] é zero. Portanto, se de alguma maneira, mesmo que por tentativa e erro, descobrirmos que [math]p(a)=0[/math], podemos dividir [math]p(x)[/math] por [math]x-a[/math] para descobrir o outro fator [math]q(x)[/math].[br][br]Por exemplo, considere o polinômio[br][center][math]p(x)=x^3-3x+2.[/math][/center][br]É imediato ver que [math]p(1)=0[/math]. Portanto [math]p(x)=q(x)(x-1)[/math] para um certo fator [math]q(x)[/math]. Para descobri-lo, efetuamos o algoritmo da divisão de polinômios:[br]

Portanto, [br][center][math][br]x^3-3x+2 = (x-1)(x^2+x-2).[br][/math][/center][br]Como claramente [math]x^2+x-2=(x-1)(x+2)[/math], chegamos a fatoração completa[br][center][math][br]x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2).[br][/math][/center][br]

Existe um modo mais prático de efetuar a divisão de um polinômio [math]p(x)[/math] por um polinômio linear [math]x-a[/math] conhecido como [i]dispositivo de Briot-Ruffini[/i]. Ele contém as mesmas contas do algoritmo de divisão, só que efetuadas de forma resumida. No caso do exemplo acima, temos o seguinte:

A figura acima é manipulável, experimente mover os controles. A ideia é que se [br][center][math]p(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D,[/math][/center][br]então, para calcular [math]q(x)=A'x^2+B'x+C'[/math] e o resto [math]r[/math], fazemos[br][center][math][br]\begin{align}[br]A'&=A \\[br]B'&=a\times A'+B \\[br]C'&=a\times B'+C\\[br]r &=a\times C'+D\\[br]\end{align}[br][/math][/center][br]Para um polinômio de grau [math]n>3[/math], a esquema é o mesmo.

Existem algumas estratégias para encontrar as raízes de uma equação polinomial. Vamos comentar apenas uma. Suponha que [math]p(x)[/math] seja um polinômio com coeficientes inteiros e cujo [i]coeficiente principal[/i] (o coeficiente que multiplica o termo de maior grau) seja igual a [math]1[/math]. Por exemplo, para grau [math]n=4[/math],[br][center][br][math]p(x)=x^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E,[/math][br][/center][br]com [math]B,C,D,E\in\mathbb{Z}[/math]. Se [math]p(x)[/math] possui uma raiz [i]inteira[/i] [math]k[/math], temos que[br][center][br][math]k^4+Bk^3+Ck^2+Dk+E=0,[/math][br][/center][br]portanto [br][center][br][math]k(k^3+Bk^2+Ck+D)=-E,[/math][br][/center][br]ou seja, [math]k[/math] [i]necessariamente é um divisor de[/i] [math]E[/math] (já que [math]k^3+Bk^2+Ck+D[/math] é inteiro). [br][br]Assim, a única chance de [math]p(x)[/math] possuir uma raiz inteira [math]k[/math] é se [math]k[/math] está entre os divisores de [math]E[/math]. Note que esse resultado [i]não diz[/i] que as raízes de [math]p(x)[/math] são os divisores de [math]E[/math]. [br][br]Vamos aplicar essa estratégia em um exemplo.[br][br][b]Exemplo:[/b] Fatore [math]p(x)=x^4-2x^3-6x^2+7x+6[/math].[br][br]Os divisores de [math]6[/math] são [math]\pm1,\pm2,\pm3[/math] ou [math]\pm6[/math]. Vamos verificar se algum desses valores é uma raiz de [math]p(x)[/math]:[br][center][math][br]\begin{array}{c|c}[br]k & p(k) \\[br]\hline[br]-6 & 1476\\[br]-3 & 66\\[br]-2 & 0\\[br]-1 & -4\\[br]1 & 6\\[br]2 & -4\\[br]3 & 0\\[br]6 & 696\\[br]\end{array}[br][/math][/center][br]Portanto [math]k=-2[/math] e [math]k=3[/math] são as únicas raízes inteiras de [math]p(x)[/math]. Note que avaliamos [math]p(x)[/math] para todos os divisores, mas na prática podemos parar na primeira raiz que encontrarmos.[br][br]Aplicando Briot-Ruffini duas vezes (tente você mesmo!), concluímos que [math]p(x)=(x^2-x-1)(x+2)(x-3)[/math]. Se for necessário, podemos fatorar [math]p(x)[/math] completamente calculando as raízes de [math]x^2-x-1[/math] através da fórmula de Bhaskara.[br]

Fatore os seguintes polinômios:[br][list=1][br][*][math]a^4-18a^2+81[/math][/*][br][*][math]a^4-1[/math][/*][br][*][math]a^6+1[/math][/*][br][*][math]x^5+x^3-x^2-1[/math][/*][br][*][math]x^4+2x^3-2x-1[/math][/*][br][*][math]y^4+3y^3+4y^2-6y-12[/math][/*][br][/list][br]Encontre as raízes reais das seguintes equações:[br][list=1][br][*][math]x^3+x-2=0[/math][/*][br][*][math]x^3-4x^2+x+6=0[/math][/*][br][*][math]y^4+5y^3+4y^2-24y-24=0[/math][/*][br][/list]