De macht van een punt P ten opzichte van een cirkel C met middelpunt M en straal r is het verschil van twee kwadraten: het kwadraat van de afstand van P tot het M en het kwadraat van de straal.
Onderzoek de macht van P voor verschillende posities van P. Wat merk je?
de macht is strikt positief voor een punt buiten de cirkel, strikt negatief voor een punt binnen de cirkel en nul voor een punt op de cirkel.
Probeer verschillende posities van P en A. Probeer voor verschillende stralen.[br]Formuleer de eigenschap.[br]Start bv. met: voor elke koorde van een cirkel C waarvan de drager door P gaat is ...
Voor elke koorde van een cirkel C waarvan de drager door P gaat is het product van de afstanden van de koordegrenspunten tot P de macht van P ten opzichte van de cirkel C.
We bewijzen:[br]"Voor elke koorde van een cirkel waarvan de drager door P gaat is het product van de afstanden van de koordegrenspunten tot P constant."
Om te bewijzen dat IPSI.IPTI = IPAI.IPBI, is het voldoende aan te tonen dat [br][math]\frac{|PB|}{|PT|}=\frac{|PS|}{|PA|}[/math][br]Dat klopt als driehoek PBS gelijkvormig is met driehoek PAT.[br]Dat lijkt op de figuur te kloppen. We vullen de figuur aan en bewijzen nu formeel.
Voor de blauwe driehoek TPA en de groene driehoek BPS geldt:[br] de hoek in T = de hoek in B (omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog)[br] de hoek in P = de hoek in P (het is dezelfde hoek)[br]Dus de beide driehoeken zijn gelijkvormig wegens het kenmerk HH[br]Dus wegens de eigenschap van overeenkomstige zijden in gelijkvormige driehoeken [br] [img]data:image/png;base64,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[/img][br]Dus wegens de hoofdeigenschap van de evenredigheden[br] IPTI.IPSI = IPAI.IPBI
We onderzoeken het bijzondere geval van een koorde waarvan de grenspunten samenvallen.
Beweeg S totdat de halfrechte door P en S slechts 1 snijpunt heeft met de cirkel en S en T dus samenvallen.[br]Welk soort rechte is PS dan?
een raaklijn uit P aan de cirkel
Leg uit waarom IPTI² in dat geval duidelijk gelijk is aan IPMI² - r².
PMT is een rechthoekige driehoek. We kunnen daarom de stelling van Pythagoras toepassen.
Probeer verschillende posities van P en A. Probeer voor verschillende stralen.[br]Formuleer de eigenschap.[br]Start bv. met: elk punt P van een koorde van de cirkel C ...
Elk punt P van een koorde van de cirkel C verdeelt die in koorde in twee stukken waarvan het product het tegengestelde is van de macht van P ten opzichte van de cirkel C.
Opnieuw zullen we met gelijkvormige driehoeken aantonen dat het product constant is. Dat dit product de macht van P ten opzichte van de cirkel is, toonden we eerder aan.
We tekenden de middellijn [CD]. De blauwe en groene driehoek zijn gelijkvormig wegens HH. Leg uit.
De blauwe hoek A en de groene hoek C zijn omtrekshoeken op de boog BD.[br]De blauwe hoek D en de groene hoek B zijn omtrekshoeken op de boog AC.[br]Omtrekshoeken op dezelfde boog zijn even groot.[br](Als 1 paar even grote hoeken had je ook de hoeken P kunnen nemen, die zijn even groot wegens overstaande hoeken.)