[size=150][justify]A equação de uma reta deve permitir que as coordenadas de qualquer um de seus pontos sejam encontradas a partir das coordenadas dos elementos que a definem, elementos estes que podem ser [url=https://www.geogebra.org/m/gywpbffn]dois de seus pontos[/url] ou então apenas um de seus pontos e sua direção (que em geral é fornecida por um vetor).[/justify][/size]

[size=150][justify]De todas as equações da reta no espaço, uma das mais simples de conceber é sua equação vetorial:[br][/justify][center]X = P + λv[/center][justify]Nela são fornecidos um ponto P pelo qual a reta deve passar e um vetor v que fornece a direção da mesma, denominado por isso de [i]vetor diretor[/i] da reta. Logo, encontrar um ponto X qualquer da reta consiste em transportar o ponto P utilizando um múltiplo do vetor v.[br][br]Por isso mesmo a equação vetorial da reta acaba nos levando até sua equação paramétrica, na qual o parâmetro é justamente o número real λ que multiplica o vetor v.[br][br]Na construção abaixo é possível perceber como cada ponto X da reta pode ser obtido por meio da variação do parâmetro λ modificando o valor do controle deslizante.[br][br]É possível também notar como a equação da reta se modifica quando arrastamos o ponto P ou o vetor v a partir de sua extremidade. Ao movimentarmos o ponto P a direção da reta não se altera, mas apenas sua posição no espaço. Por outro lado, ao alterarmos a direção de v alteramos a direção da reta, que permanece sempre paralela a v e nunca deixa de passar pelo ponto P.[/justify][/size]

[size=150][justify][/justify][justify]Da equação vetorial da reta chega-se facilmente às equações paramétricas. Basta fazer X = (x, y, z), P = (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) e v = (a, b, c) e realizar as devidas substituições na equação vetorial, obtendo[/justify][center](x, y, z)= (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) + (a, b, c) λ [/center]Reescrevendo isso na forma de um sistema de equações ficamos com[br][center][math]\text{\left\{ \begin{aligned} x=x_0+a\lambda\\ y=y_0+b\lambda\\ z=z_0+c\lambda \end{aligned} \right.}[/math][/center]Estas são as equações paramétricas da reta, as quais têm este nome devido ao fato de serem as coordenadas do ponto X obtidas a partir do parâmetro λ.[br][/size]

[size=150][justify]Clique no ícone de reiniciar a construção no canto superior direito do applet, substitua o valor de λ na equação que aparece abaixo do controle deslizante e verifique que, de fato, o valor obtido fornece as coordenadas do ponto X exibido na cor azul na janela de visualização 3D.[br][br]Experimente modificar o valor de λ e observe que, ao substituir o novo valor na equação, isso continua sendo verdade.[/justify][/size]