[br][br]Епіциклоїда – це плоска крива, утворена фіксованою точкою кола, що котиться по зовнішній стороні іншого кола без ковзання. На відміну від циклоїди, вона не є трансцендентною. Вид[br]епіциклоїди та кількість її пелюстків залежить від співвідношення великого[br]нерухомого кола та кола, що котиться по ньому.[br][br][br]З окремими випадками епіциклоїди – кардіоїдою й нефроїдою – ми вже зустрічалися в описі побудов на основі функції [i]Послідовність[/i].[br][br][br]

[br][br][b][i]Навчальне дослідження 1[/i][/b][b]. [/b]Опрацюйте[br]модель і переконайтесь, що  кількість пелюсток епіциклоїди визначається[br]значенням [b]n= R/r[/b]. Причому при цілому[br][b]n[/b] кількість пелюсток буде йому[br]відповідати.[br][br][br]Так, при [b]n[/b]=1 епіциклоїда формуватиме кардіоїду,[br]при [b]n[/b]=2 – нефроїду.[br][br][br]При нецілих значеннях,[br]наприклад, при [b]n[/b]=2.1, кількість[br]пелюсток зростає до 21, при [b]n[/b]=2.2 –[br]до 11.[br][br][br]При 0<[b]n[/b]<1 крива епіциклоїди дещо змінює[br]притаманну їй форму: вона утворює кардіоїди з додатковими петлями, які,[br]накладаючись, створюють нові фігури.[br][br][br]При [b]n[/b]=0 крива вироджується в коло.[br][br][br]

[br][br]Гіпоциклоїда – це плоска[br]крива, яка утворюється точкою кола, що котиться по внутрішній стороні іншого[br]кола без ковзання. Вона багато в чому подібна епіциклоїді, побудову якої[br]описано вище. Динамічну модель гіпоціклоїди можна отримати, якщо внести в[br]оригінальну модель епіциклоїди такі зміни:[br][br][br]

[br][br][b][i]Навчальне дослідження 2[/i][/b][b]. [/b]Спостерігайте за[br]роботою моделі і переконайтеся, що [b]n[/b][br]також є співвідношенням радіусів кіл R/r. Кількість пелюсток – каспів –[br]гіпоціклоїди також контролюється співвідношенням [b]n[/b]. При цілих значеннях [b]n[/b][br]кількість каспів й [b]n[/b] співпадатимуть.[br][br][br]При [b]n[/b]=2 гіпоциклоїда буде вироджуватися в лінію діаметра більшої[br]окружності. Окремий випадок гіпоціклоїди з чотирма каспами ([b]n[/b]=4) називається астроїдою.[br][br][br]При значеннях 1<[b]n[/b]<2 гіпоциклоїда приймає форму, що[br]збігається з деякими випадками при [b]n[/b]>1.[br]Так, форма кривої при [b]n[/b]=1,5 і [b]n[/b]=3 збігається, відрізняючись тільки за[br]розміром результуючої фігури, так само, як при [b]n[/b]=1,2 і [b]n[/b]= 6; [b]n[/b]=1,5 і [b]n[/b]=3.[br][br][br]При нецілих значеннях[br]n>2 кількість каспів зростає. Так, при n=3,5 маємо фігуру з 7 каспами, а при[br]n=3,9 – із 39 каспами.[br][br][br]При [b]n[/b]=1 кривої не існує, так як рух моделі припиняється – обидва кола[br]прирівнюються в радіусі. При 0<n<1 крива вироджується в коло, при цьому[br]змінюється тільки швидкість руху точки.[br][br][br]