Tomemos como base la ecuación que ya conocemos de una hipérbola horizontal:[br][br][math]\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1[/math][br][br]Si [math]h=0=k[/math] entonces tendríamos una hipérbola centrada en el origen, de otra forma su centro estaría fuera de él.[br][br]Luego, tenemos que[br][br][math]b^2\left(x^2-2xh+h^2\right)-a^2\left(y^2-2yk+k^2\right)-a^2b^2=0\Longrightarrow[/math][br][br][math]b^2x^2-2b^2xh+b^2h^2-a^2y^2-2a^2yk+a^2k^2-a^2b^2=0[/math][br][br]Posteriormente, definimos:[br][br][math]A=b^2,B=0,C=-a^2,D=-2b^2h,E=-2a^2k,F=b^2h^2+a^2k^2-a^2b^2[/math][br][br]Y así, llegamos a la ecuación de la hipérbola en su forma general:[br][br][math]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math]

En el caso de la hipérbola vertical, definiríamos:[br][br][math]A=-a^2,B=0,C=b^2,D=-2a^2h,E=-2b^2k,F=a^2h^2+b^2k^2-a^2b^2[/math][br][br]Para llegar a la forma general de la hipérbola.

Para que la ecuación general represente una hipérbola es necesario que [math]AC<0[/math], es decir, que [math]A\ne0\ne C[/math] y con signos opuestos.[br][br][i]Si [/i][math]A=C[/math][i] entonces tenemos una circunferencia, si [math]A=0,C\ne0[/math] o [math]A\ne0,C=0[/math] hablamos de una parábola y si [/i][math]A\ne C[/math][i] pero con signos iguales ([/i][math]AC>0[/math][i]) obtenemos una elipse.[/i]