Untersuchen Sie die Steigung des Graphen alleine anhand des Bildes, z.B. an den roten Punkten auf dem Graphen. (Wenn man die kleinen Geradenstückchen an den grünen Endpunkten bewegt, bewegen sich auch die roten Punkte.)[br][br]Dabei kann hilfreich sein: [br][list][*]Die an den roten Punkten eingezeichneten Geradenstückchen zu betrachten, die sich durch Ziehen am grünen Punkt verändern lassen.[/*][*]Zu untersuchen, für welchen Wert die kleinen roten Quadrate stehen, die nach „Rest“ auf der x-Achse liegen.[/*][/list]

Überprüfen Sie Ihren Funktionsgraphen, indem Sie sich die Steigung an [br]einer weiteren Stelle anschauen. Gehen Sie dabei wie folgt vor:[br][list=1][*]Erstellen Sie einen Punkt [img]data:image/png;base64,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[/img] auf dem Funktionsgraphen von f.[/*][*]Erstellen Sie durch diesen Punkt eine Gerade [img]data:image/png;base64,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[/img].[/*][*] Richten Sie die Gerade so aus, dass sie "möglichst gut" an den Graphen von f passt.[/*][*]Bestimmen Sie die Steigung der Geraden mit dem Steigungswerkzeug [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACgAAAAoCAYAAACM/rhtAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAeNJREFUWEfN2UuKwkAQBuAyRFRETECXrl24FQLuPZy30Tu4zC3ElSI+wVfU/AXTxKFnbJN+pEAh0TafVa12l5Xz+fykNK7XK+33e0qPcegs6vU6tdttqlarbPBxt91uGdbpdKhWq5Hv82nrcb/f6XK50Hq9pmazSa1Wi3xkDrher0ee51lHZS+IxODWaDRosVgQsuntdjvOnGtcFgoLTKish5RC7DqSJKHhcCgYmGqwcU1dZw+4KIoojmMB/PkcuJ10KUeGeyu3y9J+wnF1XQFVcM6AqjgArX8jJ8cjRf0+xculUvGslpgz1+1SPBgo4ayWmHHpT1c8nSrjrAEFbj7/CmcF+IZ78sLpqzA6B4vijGZQB84YUBfOCFAnTjtQN04r0AROG9AUTgvQJK4w0DSuENAGLjfQFi4X0Cbua6BtHIDKK2peCWOxOZsRrVYYmy82G2zllMcqATlzWKaPRkSTifKLS58I3HgsfUh28iOQcdhUK+4hZBcpcu7f9aDAZXb8RS6WZ+yfwDLg8IakwLLgpMAy4QTw8XiI6fG7y5Rn3ugYg24ropJ2Mp9hGHLLtUxxOp24Z+6hYY2ecDaLrqGwwIQedQVd/sPhQBCXsYnOQGTsdrtxTxhtV5eB1m8QBOJviBeAG0MoW9BCYwAAAABJRU5ErkJggg==[/img].[br][/*][*]Erstellen Sie über die Eingabezeile einen Punkt, mit der Stelle x(A) (Wobei A der Punkt aus 1. ist). Der y-Wert entspricht der Steigung aus dem letzten Schritt. [br]Passt der so erstellte Punkt zu Ihrem gezeichneten Graphen?[/*][/list]

[list=1][*]Betrachten Sie nun die Beziehung einiger besonderer Punkte des Funktionsgraphen (z.B. Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte etc.)? In welcher Beziehung stehen sie zu den roten Quadraten? Versuchen Sie Regeln zu formulieren und diese auch zu begründen.[br][br][/*][*]Stellen Sie mithilfe des Applets Hypothesen über mögliche Terme von f' auf, wenn man für die Ausgangsfunktionen wählt:[br][table][tr][td]f(x)=x²[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][tr][td]f(x)=x³[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][tr][td]f(x)=x^4[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][tr][td]f(x)=x³-x[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][tr][td]f(x)=2^x[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][tr][td]f(x)=sin(x)[/td][td]f'(x)=...[/td][/tr][/table][br][br][/*][*]Kontrollieren Sie Ihre Vermutungen, indem Sie diese im obigen Applet plotten lassen und mit den roten Punkten vergleichen, oder im vorherigen Applet zeichnen lassen.[/*][/list]

[list][*]Grundvorstellung zu Funktionen[/*][*]anschauliche Vorstellung von Hoch- und Tiefpunkten[/*][/list]

Das obere Graphikfenster zeigt den Graphen einer Funktion f und einen Punkt (x|f(x)) auf dem Graphen. Mit dem Schieberegler kannst du diesen Punkt im Intervall [-3; 4] bewegen. Im unteren Graphikfenster werden die jeweiligen Punkte (x|f‘(x)) gezeichnet.[br][br][br][br]

[list][*]Einführungsphase Mathematik[/*][*]Funktionen und Analysis[/*][*]Ableitungsfunktion[/*][*]Ziel: Die Lernenden nähern sich explorativ der Ableitungsfunktion[/*][*]Dauer: 90-120 Minuten[/*][*]SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/udmtgbgy[/*][*]Spezielle Materialien: AB Graphisches Differenzieren[/*][/list]

[size=100]Die SchülerInnen können...[br][list][*]geometrisch näherungsweise eine Tangente (in präformalem Verständnis als eine sich an den Graphen anschmiegende Gerade) in einem Punkt an einen Funktionsgraphen anlegen,[/*][*]aus dieser Geraden näherungsweise die Steigung ablesen bzw. von GeoGebra ablesen lassen - ein ungefähres Maß für die Steigung sollte aber intuitiv ermittelt werden können.[/*][/list]Erwartete Kenntnisse der Lehrperson:[br][list][*]Die Lehrpersonen kennen die Konstruktion der eckig dargestellten roten Punkte: Die x-Koordinate stimmt mit der x-Koordinate des am Graphen befestigten Punktes überein, die y-Koordinate entspricht der Steigung des Geradenstückchens.[/*][*]Die Lehrpersonen sind sich darüber bewusst, dass die durch die roten Punkte angedeuteten Graphen der Ableitungsfunktionen nur sehr ungenau angedeutet werden, egal wie nah man heranszoomt. Diese Ungenauigkeit ist kein Mangel, sondern beabsichtigt und wird als didaktische Chance begriffen.[br][/*][/list][/size]

Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können:[br][list][*]Die Schüler:innen können benennen, dass der Abstand des Punktes zur x-Achse umso größer ist, je steiler die Tangente ist, genauer: Je größer/kleiner die Steigung der Tangente, desto größer/kleiner ist die y-Koordinate des entsprechenden roten Quadrates.[/*][*]Die Schüler:innen formulieren die Hypothese, dass dort, wo die Steigung der Tangente gleich 0 ist (wo also die y-Koordinate des roten Quadrates ebenfalls 0 ist), beim Graphen von f ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt (eigentlich: vorliegen könnte). Gegebenenfalls wird diese Hypothese durch das Betrachten von Sattelpunkten weiter exaktifiziert.[/*][*]Die Schüler:innen interpretieren die durch die roten Punkte angedeutete Funktion als Funktion der Tangentensteigungen an den jeweiligen Stellen des Funktionsgraphen (ggf. unter dem Begriff der Ableitungsfunktion).[br][/*][/list]

Zu den wesentlichen Absichten des Zugangs zählt, dass mit Blick auf den funktionalen Zusammenhang [i]gleichzeitig[/i] der Blick auf den Punkt (Mikroanalyse) als auch der Blick auf das Ganze (Makroanalyse) unterstützt wird: die [i]Mikroanalyse[/i] ermöglicht Fokussierung auf Zuordnungsaspekte (Zusammenhang z.B. von Extremstellen bei f und Nullstellen bei f ’ etc.), die [i]Makroanalyse[/i] erlaubt den Fokus auf die Funktion als Ganzes.[br]Die Dynamisierung ermöglicht Fokussierung auf Kovariation: Gleich- und gegensinnige Kovariationsaspekte sind bei der Beurteilung des Änderungsverhaltens direkt erlebbar durch die Einstellung der Steigung im Zugmodus.[br][br]Der explorative Zugang beinhaltet eine natürliche Differenzierung: nahezu kalkülfrei können zutreffende Hypothesen getroffen werden, deren Verifizierung argumentativ in unterschiedlich exaktem Niveau erfolgen kann.[br][br]Die Aufgabe fokussiert auf die Verständnisorientierung, weil der Zugang zur Ableitungsfunktionion handlungsorientiert und ohne größeren Rückgriff auf Vorkenntnisse auf Verfahren erfolgt.[br]

[list][*]Weitere Variationen in der Grundaufgabe[/*][*]Umformulierung der Aufgaben[/*][*]Erweiterung für die Starken[br][/*][/list]

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/quxyqggq[br][br]In dieser Aufgabe sind in regelmäßigen Abständen an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen an dieser Stelle möglichst gut approximieren, also tangential werden. Durch das Drehen der Strecken wird weiterhin ein Punkt, der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.

Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/jscacerp[br][br]Hier wird das Applet als heuristisches Instrument verwendet, um Vermutungen hinsichtlich der Ableitungsfunktion an konkreten Beispielen aufzustellen.

Link zum Material: [url=https://www.geogebra.org/m/udmtgbgy]https://www.geogebra.org/m/udmtgbgy[/url][br][br]Zuordnung vom Funktionsgraphen zum Graphen: Hier wird überprüft, ob die Lernenden ein intuitives Verständnis darüber aufgebaut haben, wie zu einem gegebenen Funktionsgraphen der Graph der Ableitungsfunktion aussieht.[br]Dadurch wird nicht nur das Gelernt gefestigt, sondern auch die Sicherung / Hausaufgabe vorbereitet.

Die Lernenden treffen, basierend auf den Erkenntnissen aus Ausgabe 3, qualitative Ausssagen über den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (Grad, Anzahl der Extrema, Verhalten im Unendlichen, usw.)[br]

[list][*]Das Applet selbst ist zum Nachbauen für die meisten Schüler:innen der EF vermutlich zu kompliziert. Es ist aber möglich, die Lernenden die Konstruktion zumindest in vereinfachter Form selbst erstellen zu lassen.[/*][*][b]Ausblick:[/b] Während der hier dargestellte Zugang zunächst einen explorativen Zugang zur Ableitungsfunktion darstellt, kann die Datei auch als begleitendes Werkzeug zur Hypothesenbildung verwendet werden.[/*][/list]

[list][*]Schmidt, Reinhard / Riemer, Wolfgang (2013): Grafisch ableiten. Eine „Sternstunde“ zu Beginn der Analysis. In: PM Praxis der Mathematik in der Schule 55 (50). S. 41-42.[br][/*][*]Heintz, G., Elschenbroich, H.-J., Laakmann, H., Langlotz, H., Rüsing, M., Schacht, F., Schmidt, R., & Tietz, C. (2017). Werkzeugkompetenzen. Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben. Medienstatt. S. 102 ff.[br][/*][/list]