Křivost [i]k[/i] [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Klotoida]klotoidy[/url] je přímo úměrná délce oblouku [i]L[/i], tj. [i]k[/i] = [i]a.L[/i]. Koeficient [i]a[/i] přímé úměrnosti je většinou velmi malý, proto je používán ve tvaru [math]a=\frac{1}{A^2}[/math]. Rovnice klotoidy vyjádřená závislostí délky s a křivostí k je tedy[br][center][math]k=\frac{L}{A^2}[/math].[/center]V železniční i silniční dopravě se používá pro napojení úseků s různou křivostí. Soustava souřadná je zvolena tak, že bod o křivosti 0 je v počátku, tečna v tomto bodě je osa [i]x[/i] ([color=#0000ff]přímý úsek[/color]). Pro daný koeficient přímé úměrnosti (dáno pojížděnou rychlostí) vypočítáme délku [i]L[/i] klotoidy pro napojení na kružnicový oblouk, jenž je veden po [color=#0000ff]oskulační kružnici[/color].

Určete délku [i]L[/i] oblouku klotoidy [math]k=\frac{L}{15^2}[/math] pro napojení přímého úseku na kruhový oblouk o poloměu [i]r[/i] = 15 m.[br][br]Řešení: V bodě napojení musí mít klotoida i kruhová zatáčka stejnou křivost [math]k=\frac{L}{15^2}=\frac{1}{r}[/math], odtud [math]L=\frac{15^2}{r}[/math]. Dosazením poloměru [i]r[/i]=15 m získáme pro délku oblouku [i]L [/i]=15 m.

Vypočítejte odchylku přímého úseku a tečny v bodě napojení klotoidy [math]k=\frac{L}{15^2}[/math] a kruhové zatáčky [i]r[/i] =15 m.[br][br]Řešení: Derivací parametrických rovnic klotoidy získáme jednotkový vektor tečny ve tvaru[br][math]u=\left(\cos\frac{L^2}{2.A^2},\sin\frac{L^2}{2.A^2}\right)[/math] Odtud vzorec pro úhel, který svírá tečna s osou x:[br][center][br] [math]\alpha=\frac{L^2}{2.A^2}[/math]. [br][/center][br]Po dosazení za oblouk [i]s[/i] z předchozího příkladu [math]\alpha=\frac{15^2}{2\cdot r^2}[/math].[br]Pro hodnotu poloměru [i]r[/i] = 15 m získáváme velikost úhlu v radiánech. α =1/2.[br]

Nahraďte klotoidu [math]k=\frac{L}{15^2}[/math] kubickou parabolou.[br]Řešení: Z Taylorova rozvoje 3. stupně dostáváme aproximaci ve tvaru [math]y=\frac{x^3}{6A^2}[/math]. [br]Dosazením [i]A[/i]=15 dostáváme algebraickou přechodnici třetího stupně vyjádřenou explicitně [math]y=\frac{x^3}{6\cdot15^2}[/math].

Jak dlouhá část klotoidy [math]k=\frac{L}{30000}[/math] bude použita pro napojení kruhové zatáčky o poloměru [i]r [/i]= 450 m a kruhové zatáčky o poloměru [i]r [/i]= 60 m.[br][br]Řešení: V bodech napojení musí mít klotoida i kruhová zatáčka stejnou křivost. Odtud vypočítáme křivočaré vzdálenosti [i]L[/i][sub]1[/sub], [i]L[/i][sub]2[/sub] bodů napojení od počátku při pohybu po klotoidě. [i][sub][br][math]\frac{1}{450}=\frac{L_1}{30000}\Rightarrow L_1=\frac{200}{3}[/math][br][/sub][/i][math]\frac{1}{60}=\frac{L_2}{30000}\Rightarrow L_2=500[/math][br]Délka použité části přechodnice bude rozdíl [i]L = L[sub]2 [/sub]- L[sub]1[/sub][/i] =433,33 m.