[br]Zbadamy istnienie ekstremów lokalnych funkcji zmiennej [math]x[/math] uwikłanej równaniem[center][math]x^2+y^3+ay=0[/math][/center] w zależności od wartości parametru [math]a\in\mathbb{R}[/math].[br][u][br]Ilustracja graficzna[/u]:[br][size=85]Zmieniając suwakiem wartości parametru [math]a[/math] zastanów się, jak wpływa on na ilość ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych.[/size]

[u]Rozwiązanie:[/u][br]Funkcja [math]F[/math] ma ciągłe odpowiednie pochodne cząstkowe dla dowolnych wartości parametru [math]a[/math].

Rozważmy trzy przypadki:[br][list=1][*][math]a>0[/math][br]Wówczas układ (*) ma tylko jedno rozwiązanie [math]P_1=(0,0).[/math] Ponieważ [math]F(P_1)=0[/math] i [math]F_y(P_1)=a\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=0[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_1(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_1[/math]. Ponadto [math]I(P_1)=-\frac{2}{a}<0[/math], co oznacza, że funkcja uwikłana [math]f_1[/math] ma w [math]x=0[/math] maksimum lokalne równe [math]0[/math].[br][/*][*][math]a<0[/math][br]W tym przypadku układ (*) ma trzy rozwiązania: [math]P_1=(0,0)[/math], [math]P_2=(0,\sqrt{-a})[/math] i [math]P_3=(0,-\sqrt{-a})[/math]. Dla punktu [math]P_1[/math] mamy: [math]F(P_1)=0[/math] i [math]F_y(P_1)=a\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=0[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_1(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_1[/math]. Ponieważ [math]I(P_1)=-\frac{2}{a}>0[/math], więc funkcja uwikłana [math]f_1[/math] ma w [math]x=0[/math] minimum lokalne równe [math]0[/math].[br]Dla punktu [math]P_2[/math] mamy: [math]F(P_2)=0[/math] i [math]F_y(P_2)=-2a\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=0[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_2(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_2[/math]. Ponieważ [math]I(P_2)=\frac{1}{a}<0[/math], więc funkcja uwikłana [math]f_2[/math] ma w [math]x=0[/math] maksimum lokalne równe [math]\sqrt{-a}[/math].[br]Dla punktu [math]P_3[/math] mamy: [math]F(P_3)=0[/math] i [math]F_y(P_3)=-2a\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=0[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_3(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_3[/math]. Ponieważ [math]I(P_3)=\frac{1}{a}<0[/math], więc funkcja uwikłana [math]f_3[/math] ma w [math]x=0[/math] maksimum lokalne równe [math]-\sqrt{-a}[/math].[br][/*][*][math]a=0[/math] [br]Dane równanie jest wówczas postaci [math]x^2+y^3=0[/math]. Stąd [math]y=\sqrt[3]{-x^2}[/math]. Możemy więc wyznaczyć jawny wzór funkcji uwikłanej [math]f_1(x)=\sqrt[3]{-x^2}[/math]. Ponieważ [center][math]f_1(x)=\sqrt[3]{-x^2} \leq 0=f_1(0)[/math] dla każdego[math]x\in\mathbb{R},[/math][/center]więc [math]f_1[/math] ma w [math]x=0[/math] maksimum lokalne o wartości [math]0[/math].[br][/*][/list]