cirkels, ovalen, ellipsen en architectuur
We kennen de cirkel als een elementaire vorm die vaak toegepast wordt in de architectuur, al dan niet met kosmische verwijzingen. We kennen de ellips als kegelsnede en sinds Kepler ook als de baan die planeten beschrijven rond de zon. Vergeleken met cirkel en ellips is de ovaal het lelijke eendje. Je kunt een ovaal niet vatten in één sluitende vergelijking , we zeggen dat barokarchitecten ovalen gebruikten om ellipsen te benaderen, in boeken en toeristische gidsen worden ovalen en ellipsen door elkaar gebruikt enz. En toch ontvouwt de geschiedenis van de ovaal zich als een boeiend en eeuwenoud verhaal. Aan de hand van een reeks artikels, aangevuld met GeoGebra applets probeer ik je mee te nemen in dit verhaal, met dank aan enkele vakoverschrijdende steuntjes van gewezen collega's. There's an English version of this book on [url]https://www.geogebra.org/m/fcvwrdg5[/url].
Índice
- cirkel
- San Vitale
- de hemelsferen van Ptolemaeus
- centraalbouw in de renaissance
- Een blik naar de Romeinse Oudheid
- amfitheater van Verona
- Rome - Colosseum
- ovale schema's
- verlenging van het centraalplan
- Serlio 1
- Serlio 2
- Serlio 3
- Serlio 4
- realisaties
- Vignola - Sant'Anna dei Palafrenieri
- Capriani - San Giacomo degli Incurabili
- Bernini - Sant'Andrea al Quirinale
- Borromini - San Carlo alle quattro fontane
- C.D. en E.Q. Asam - Weltenburg
- Bathasar Neumann - Vierzehnheiligen
- ellips
- ellips als een vlakke kromme
- ellips in 3d
- De bollen van Dandelin
- Dürer
- Dürer 2
- da Vinci en anderen
- ovalen, ellipsen, het Sint-Pietersplein en een koffiekan
- ovaal en ellips
- normalen op een ovaal en een ellips
- Bernini - Sint-Pietersplein (1656)
- het Sint-Pietersplein als ellips...
- koffiekan
- links
- wat met Kepler?
- wat met Carolus Borromeus?
- links
San Vitale
kosmologische verwijzingen
De vroeg-christelijke basiliek van San Vitale (526-547) in Ravenna zie je zowel in het kruisgewelf als in de absis kosmische verwijzingen. [br]Centraal bovenaan in het kruisgewelf staat een lam in een sterrenhemel, gedragen door vier engelen.[br]In de absismozaiek zit Christus op een blauwe [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Mandorla]mandorla[/url], als heerser van het universum.
amfitheater van Verona
In het artikel [url=https://www.researchgate.net/publication/277908088_Baroque_Oval_Churches_Innovative_Geometrical_Patterns_in_Early_Modern_Sacred_Architecture]Baroque Oval Churches: Innovative Geometrical Patterns in Early Modern Sacred Architecture[/url] beschrijft Sylvie Duvernoy hoe bekende renaissance architecten als Giovanni Battista da Sangallo, Baldassare Peruzzi, Sebastiano Serlio en Andrea Palladio o.a. de amfitheaters van Verona en Rome bestudeerden. Uit hun studies leidden ze vormregels af om ovale gebouwen te ontwerpen.[br][br][size=150]omtrek[/size][br]De Romeinse ontwerpers moesten de verhoudingen van het gebouw zo ontwerpen dat ze de omtrek konden onderverdelen in gelijke bogen die dienden als ingangen voor het publiek.[br]De lengte l van een cirkelboog kan je schrijven als:[br]l = 2 x [math]\pi[/math] x R x [math]\alpha[/math]/360° (met hierin R als de straal en [math]\alpha[/math] als de hoek van de cirkelboog.[br]De tekeningen van Peruzzi tonen dat in het amfitheater van Verona elke cirkelboog 18 bogen bevat, met andere woorden: de vier cirkelbogen die de ovaal vormen zijn even lang.[br][br][size=150]stralen en hoeken[/size][br][size=100]Hoe groot zijn nu de stralen R1 en R2 en de hoeken [math]\alpha[/math]1 en [math]\alpha[/math]2 van de cirkelbogen in Verona?[br]Omdat elke cirkelboog even lang is en de ovaal symmetrisch is, kan je schrijven:[br]2 x [math]\pi[/math] x R1 x [math]\alpha[/math]1 = 2 x [math]\pi[/math] x R2 x [math]\alpha[/math]2 en [math]\alpha[/math]1+ [math]\alpha[/math]2 = 180°[br][/size]Hieruit volgt R1 x [math]\alpha[/math]1 = R2 x [math]\alpha[/math]2 en [math]\alpha[/math]1+ [math]\alpha[/math]2 = 180°[br]of nog: R1/R2 = [math]\alpha[/math]2/[math]\alpha[/math]1[br][br][size=100]Voor Verona vond Peruzzi een verhouding R1/R2 = [math]\alpha[/math]2/[math]\alpha[/math]1 = 5/3.[br]5/3 is een klassieke verhouding die gekend in als [i]superbipartiens tertias[/i] (tertius).[/size]
verlenging van het centraalplan
Ovale schema's waren niet geheel vreemd voor renaissance architecten. Ze kenden immers amfiteaters zoals in Rome en Verona. Architecten als Baldassare Peruzzi (1481 - 1536) en zijn leerling Sebastiano Serlio (1475 - 1536) bestudeerden antieke monumenten en Serlio beschrijft het eerste van zijn 7 boeken over architectuur enkele typeschema's om ovale gebouwen te ontwerpen.
ontwerp
In zijn vijfde boek [i]Le diverse Forme dei Tepli Sacri[/i] schetst Serlio een eigen ontwerp voor een kerk met ovaal grondplan dat erg doet denken aan een uitgerekte versie van het Pantheon.
Vignola - Sant'Anna dei Palafrenieri
verlengde centraalplan
Tijdens de renaissance van de 15e eeuw was het centraalplan erg populair. In het midden van de 16e eeuw introduceerde Jacopo Barozzi da Vignola (1507-1573) een nieuwe interpretatie door de centrale ruimte te verlengen. Hij en zijn volgelingen waren de eerste om kerken met ovale grondplannen te ontwerpen én te bouwen.[br]Tijdens de contrareformatie ontstonden talrijke nieuwe religieuze ordes. Net zoals de bouw van abdijen in de middeleeuwen de romaanse stijl een boost gaf en Bourgondië een labo werd voor de religieuze bouwkunst, werd Rome als religieus centrum het labo voor de ontwikkeling van de bouwkunst in de 16e en 17e eeuw.
Eerste realisaties
Voor de Gesukerk in Rome ontwierp Vignola eerst een kerk met ovaal grondplan, maar uiteindelijk werd zijn ontwerp afgewezen en werd de Gesu gerealiseerd als een kerk met rechthoekig langschip en ronde koepel.[br]Op de grens van het Vaticaan en de stad Rome kon Vignola zijn eerste ovale kerk realiseren, de Sant'Anna dei Palafrenieri voor het 'broederschap van de pauselijke bruidegoms'. De bouw begon in 1572, een jaar voor Vignola's dood en werd afgewerkt door zijn zoon.[br]Kort daarna ontwierp Francesco Capriani da Volterra (1535–1594), een leerling van Vignola, de tweede ovale kerk in Rome: San Giacomo degli Incurabili.[br][url=https://www.researchgate.net/publication/277908088_Baroque_Oval_Churches_Innovative_Geometrical_Patterns_in_Early_Modern_Sacred_Architecture]Sylvie Duvernoy[/url] schrijft dat elke kerk verschillend is maar wel telkens een variatie op dezelfde principes. [br]Je kunt elke ovaal beschrijven door de verhouding van zijn assen en de plaatsing van de middelpunten. Hierbij werden meerdere schema's gebruikt dan de vier die Serlio beschreef.[br]Zo bouwt Vignola de Sant'Anna dei Palafrenieri op vanuit Pythagorese 3-4-5-driehoeken, terwijl Capriano werkt met gelijkzijdige driehoeken (= Serlio 4).[br][br]
ellips als een vlakke kromme
meetkundige plaats
Een meetkundige plaats is een meetkundige figuur die wordt gevormd door de verzameling punten die voldoen aan een specifieke voorwaarde.[br]Zo is bijvoorbeeld: [br][list][*]de middelloodlijn van twee punten de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand van deze twee gegeven punten liggen.[/*][*]de cirkel de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand van een bepaald punt liggen.[br][/*][*]de deellijn of bissectrice de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand van 2 gegeven rechten liggen.[/*][/list]
ellips als meetkundige plaats
Een ellips is de meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten (de brandpunten) een gegeven constante is.[br]Je kunt dus een ellips tekenen door een touwtje waarvan je de twee uiteinden vastspijkert. Trek het touwtje strak met een potlood en teken een gesloten kromme. Het resultaat is een ellips.
applet
Je kunt de touwmethode uitproberen in onderstaand applet.[br][list][*]Versleep het punt F[sub]1[/sub] en bepaal de afstand tussen de twee brandpunten. [/*][*]Versleep het punt C en bepaal de lengte van het touw.[/*][*]Versleep nu het punt P en teken de ellips.[/*][/list]
gardener's method
Deze constructie wordt in het Engels [i]the gardener's method[/i] genoemd omdat ze in Engelse tuinen gebruikt werd om bloemperken af te bakenen. Architecten en militaire ingenieurs vermelden ze in traktaten.[br]Zo illustreert b.v. Ambroise Bachot de methode in zijn boek uit 1598 over architectuur, fortificaties en oorlogstuigen.
ovaal en ellips
epiloog van een conflict
Serlio en zijn renaissance tijdgenoten kunnen we weinig verwijten. Van een vergelijking van de ellips was nog geen sprake en de analytische meetkunde werd pas geïntroduceerd in de 17e eeuw. [br]Maar ondanks de grote stappen die de wiskunde sindsdien zette, blijft de onduidelijkheid en de verwarring voortduren tot nu. In het artikel [url=https://www.researchgate.net/publication/328307082_ELLIPSES_AND_OVALS_IN_THE_PHYSICAL_SPACE_OF_ST_PETER'S_SQUARE_IN_ROME]Ellipses and ovals in the physical space of St.Peter's square in Rome[/url] schrijven auteurs Alessandra Carlini en Paola Magrone het volgende:[br]"[i]De ambiguïteit in het gebruik van de termen ellips en ovaal blijven bestaan in een bepaald soort literatuur, zoals toeristische literatuur en schoolboeken. Zo worden in de 4 toeristische gidsen die we raadpleegden het Sint Pietersplein beschreven als ellipsvormig[/i]". [br]De auteurs citeren ook de bestseller Angels and Demons van Dan Brown:[br]"[i]Two fountains flanked the obelisk in perfect symmetry. Art historians knew the fountains marked the exact geometric focal points of Bernini's elliptical piazza, but it was an architectural oddity Langdon had never really considered unti today. It seemed Rome was suddenly filled with ellipses, pyramids and startling geometry[/i]".[br][br]Wat die verwarring en misvattingen betreft, kan ik bovengenoemde auteurs enkel beamen. In allerlei gidsen en zelfs boeken over architectuur worden ovalen en ellipsen door elkaar gehaald. In een enkele wordt de toerist zelfs aangeraden op de ronde stenen op het Sint-Pietersplein te gaan staan om naar de colonnade te kijken. Dit zijn de brandpunten van het ellipsvormig plein, vervolgt de gids...[br]In andere boeken over architectuur lees over ovalen en een regel verder over 'elliptische vormen'.[br]In zijn artikel [url=https://www.academia.edu/1130844/Ellissi_e_ovali_Epilogo_di_un_conflitto]Ellissi e ovali, epilogo di un conflitto[/url] gaat Riccardo Miglari uitgebreid in op de kwestie en met de het woord epiloog maakt hij meteen duidelijk dat hij de discussie beschouwd als afgerond. [br]De oplossing moet je volgens hem niet zoeken in opmeten maar in de bouwtraditie en literatuur, die overduidelijk is.
een onvermijdelijke discussie
Migliari noemt de discussie onvermijdelijk en verwijst naar auteurs uit het humanisme, waar de benamingen fout of door elkaar gebruikt worden. Pietro Cataneo beschrijft de constructie van een kromme met behulp van een touw en noemt ze 'figure ovale'. Vincenzo Scamozzi legt de constructie uit van een kromme 'die de Grieken ellips noemen'... maar tekent een ovaal. [br]Migliari gaat verder: "Ik ben daarom geneigd de promiscuïteit van onze twee krommen te aanvaarden in de discussie die erbij hoort. Maar in een hedendaagse technisch-wetenschappelijke context staan beide woorden voor krommen die heel ver uit elkaar liggen, niet allen inzake afkomst, maar ook inzake uiterlijk, zodat je geen architect of ingenieur bent en beide niet kunt onderscheiden." Hij vult verder aan: "en het lijkt me belangrijk toe te voegen dat ik helemaal niet bereid ben om de ellips een primaat toe te kennen van intellectuele noblesse die de ovaal niet zou hebben. [br]Ja, de ellips is een kegelsnede, de planeten volgen een elliptische baan, de ellips werd door de eeuwen beschreven door Apollonius tot Dessargues. De ovaal heef een meer bescheidene afkomst. Het is gewoon een aaneenschakeling van cirkelbogen, die in zijn toepassingen interessanter is dan wiskundige theorie.[br]Volgens sommigen omdat hij gemakkelijker te construeren is dan een ellips, zeker bij grote afmetingen.[br]Maar bij nader toezien is in architecturale toepassing een ovaal net de interessantste keuze."[br]Maar hoe teken je beide krommen?[br]
een ovaal die als twee druppels water op een ellips lijkt
[list][*]Teken twee snijdende cirkels met gelijke straal zoals in onderstaande figuur.[/*][*]Teken vanuit de snijpunten van beide cirkels een rechte door het middelpunt van de cirkel en bepaal het andere snijpunt met de cirkel.[br][/*][*]Stel nu de ovaal samen uit twee groene cirkelbogen vanuit de groene middelpunten en twee rode cirkelbogen vanuit de rode middelpunten.[/*][*]Bepaal r als de halve lengteas van de ovaal.[/*][/list]
een ellips die als twee druppels water op een ovaal lijkt
Selecteer het aanvinkvakje en toon de ellips met dezelfde lengteas en breedteas als de ovaal.[br]De ellips wordt als volgt geconstrueerd:[list][*]Duid het snijpunt aan van de verticale as en de ovaal.[/*][*]Teken vanuit dit snijpunt een cirkel met straal r (zie boven)[br][/*][*]Bepaal de brandpunten F1 en F2 als de snijpunten van de cirkel en de lengteas van de ovaal.[/*][*]Creëer nu de ellips met brandpunten F1 en F2 en als lengte as 2r.[/*][/list]Vink nu het aanvinkvakje aan en uit en merk hoe minimaal het verschil is tussen ovaal en ellips.[br]Enkel onder een hoek van [math]\approx[/math] 45° vanuit de middelpunten van de twee kleine cirkels vind je een minimaal verschil. Voor bijvoorbeeld het St-Pietersplein, met een breedte van 240 m is de maximale afwijking slechts 1,6 m en op het grootste deel van de ovaal verwaarloosbaar. Dit kleine verschil draagt er niet toe bij de misvatting uit de wereld te helpen dat de vorm van het plein een ellips zou zijn.
wat met Kepler?
renaissance versus barok
Het is verleidelijk om kunstperiodes en bouwstijlen te typeren met kenmerken die je duidelijk en eenvoudig kunt onderscheiden van elkaar. Zo wordt de renaissance vaak gelinkt met de cirkel, de barok met de ellips.
renaissance en de cirkel
De Uomo Vitruviano van Leonardo da Vinci is een dankbare kapstok om de renaissance aan op te hangen.[br]Eén tekening verwijst zowel naar de aandacht voor de Klassieke Oudheid, de cirkel als perfecte vorm als naar Leonardo da Vinci, verpersoonlijking van de renaissance.
barok en ellips
Tegenover de uomo universale van da Vinci zorgt de tandem Bernini-Kepler voor het ideale contrast.[br]da Vinci kijkt terug naar de Klassieke Oudheid, Bernini is mee met de wetenschappelijke revolutie van Keplers wereldbeeld en kiest resoluut voor de ellips, met het Sint-Pietersplein als ideaal uithangbord.
Helaas voor wie houdt van duidelijke contrasten is de geschiedenis veel meer fluïde dan dat. [br]Het zijn net renaissance architecten als Sebastiano Serlio (1475-1554) die de ovale vorm van Romeinse amfitheaters bestuderen en zelf ovale ontwerpschema's oplijsten. Ook de eerste ovale kerken van Vignola (1507-1573) en Capriano (1535-1594) dateren van voor de publicatie van Kepplers wereldbeeld in 1609. Zelfs los van alle praktische voordelen van ovalen t.o.v. ellipsen blijkt overduidelijk uit de analyse van de grondplannen dat architecten als Bernini en Borromini een bouwtraditie overnamen die vertrouwd was met het gebruik van cirkels en ovalen en deze traditie verder verrijkten.[br]Een auteur als Valerie Shrimplin benadrukt bv. de kosmische belangstelling van Borromini en legt verbanden tussen [url=https://www.valerieshrimplin.com/pdfs/20190622-kepler-borromini-and-harmonices-mundi-wide-ppt.pdf]Borromini en Kepler[/url], maar het is wel bijzonder ongelukkig dat ze uitdrukkelijk verwijzen naar zijn San Carlo alle Quattro Fontane, dat net een uitgelezen voorbeeld is van de mogelijkheden die cirkels en ovalen bieden en dus niet eens een ellips is.
