Änderungsraten - Differentialrechnung

Basler, tegrurut, Dec 10, 2020

Änderungsrate

Table of Contents

  1. Einführung
    1. Bungee-Jumper
  2. Weg-Zeit-Diagramme
    1. Mittlere Änderungsrate
    2. Mittlere Geschwindigkeit - Freier Fall
    3. Weg-Zeit-Diagramm
    4. Weg-Zeit-Diagramm
  3. Steigung an Graphen
    1. 4.1 Steigung an Graphen
    2. 4.2 Übungen
  4. Graphisch Differenzieren
    1. Grafisches Differenzieren von Funktionen
    2. Grafisches Differenzieren

1.

Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist. Daher führt man den Begriff Steigung ein. In Anwendungsbeispielen wird die Steigung auch oft Änderungsrate genannt. Funktionen als Modelle von natürlichen Vorgängen verlaufen in der Praxis nicht immer gleichmäßig, sondern schwanken. Dies führt uns zu einer einfachen Erklärung der Differentialrechnung: Sie hilft uns, diese Schwankungen zu berechnen.

  • 1. Bungee-Jumper

1.1.

Bungee-Jumper

Der Weg, den ein Bungee-Jumper beim Sprung zurücklegt, soll durch eine quadratische Funktion [math]s(t)=t^2[/math] dargestellt werden. Erzeuge den Graphen der Funktion, indem du den Schieberegler t bewegst.
Bungee-Jumper
– haubal

2.

Weg-Zeit-Diagramme

Mittlere Geschwindigkeit - Sekantensteigung - Differenzenquotient Momentane Geschwindigkeit - Tangentensteigung - Differentialquotient Geschwindigkeitsfunktion - Steigungsfunkion - Ableitungsfunktion

  • 1. Mittlere Änderungsrate
  • 2. Mittlere Geschwindigkeit - Freier Fall
  • 3. Weg-Zeit-Diagramm
  • 4. Weg-Zeit-Diagramm

2.1.

Mittlere Änderungsrate

[b]Mittlere Änderungsrate[/b][br]Mit Hilfe der Schieberegler a und b kannst Du die Punkte A und B verschieben.[br]Bewege die Punkte und analysiere Peters Rechnung.
Mittlere Änderungsrate
– peach

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Steigung an Graphen

  • 1. 4.1 Steigung an Graphen
  • 2. 4.2 Übungen

3.1.

4.1 Steigung an Graphen

Im letzten Kapitel hast du gelernt, dass mittlere Änderungsraten graphisch durch Sekanten und lokale Änderungsraten durch Tangenten dargestellt werden und über die Steigung berechnet werden können. Außerdem hast du eine Möglichkeit kennengelernt, die Steigung eines Graphen an einem ausgewählten Punkt annähernd zu ermitteln.[br]Dieses Verfahren sollst du in der nächsten Aufgabe nochmals einüben.[br][br][b]Aufgabe 4.1.1:[/b][br]Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und trage die zum jeweiligen x-Wert gehörenden angenäherten y-Werte und Steigungen m des folgenden Graphen ein.[br][table][tr][td]x[/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]f(x)[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]m[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]Um die Steigung zu ermitteln, verschiebe [math]P_0[/math] an die entsprechende Stelle und verkleinere den Abstand zwischen [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math] bis die Sekante annähernd eine Tangente durch [math]P_0[/math] ist.[br][br]
[b]Aufgabe 4.1.2:[/b][br]Im folgenden Applet wird die gleiche Funktion abgebildet und im rechten Fenster so nah rangezoomt, dass sie linear erscheint. Einen solchen rangezoomten Ausschnitt eines Graphen nennen wir lokale lineare Approximation des Graphen.[br]a) Bewege [math]P_0[/math] an dieselben Stellen wie in Aufgabe 1 und berechne schriftlich jeweils die Steigung der lokalen linearen Approximation, indem du annimmst, dass der Graph im rechten Fenster linear ist.[br]b) Vergleiche die Ergebnisse mit denen aus Aufgabe 1. Welche Ergebnisse hältst du für genauer? Schreibe deine Begründung in dein Heft.
[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]
– Basler

3.2.

–

4.

Graphisch Differenzieren

  • 1. Grafisches Differenzieren von Funktionen
  • 2. Grafisches Differenzieren

4.1.

Grafisches Differenzieren von Funktionen

Hier wird das Prinzip des grafischen Differenzierens dargestellt. An die Funktion f(x) wird die Tangente im Punkt A gelegt und deren Steigung dargestellt. Diese wird in automatisch mit dem x-Wert des Punktes A übertragen und somit entsteht Punkt für Punkt die (erste) Ableitung f'(x) der Funktion f(x)
Grafisches Differenzieren von Funktionen
– Kurt Söser

4.2.

–

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