Замощення площини Лобачевського правильними трикутниками
[br][br]Припустимо, у нас є точка А. Задача замощення площини правильними трикутниками полягає у побудові максимальної кількості правильних трикутників так, щоб у кожного одна вершина[br]лежала в точці А, а дві сторони були суміжними із сусідніми трикутниками. [br][br][br]У евклідовій геометрії, очевидно, максимальна кількість таких трикутників дорівнює шести, так як всі[br]кути трикутника дорівнюють 60°. На площині Лобачевського ця кількість дорівнює[br]семи. Це цікаве явище ілюструє наступна модель.(див. файл [i]Гіперболічна геометрія.ggb.[/i]) Цьому цікавому явищу присвячена наступна побудова.[br][br][br]
Задача на побудову 1. Побудувати модель для роботи з гіперболічною площиною та розробити набір користувальницьких інструментів для побудови об'єктів у площині Лобачевського.
Проаналізуємо одержану модель.
Довжини сторін і кути у[br]трикутників рівні між собою, проте нам вдалося замостити сім'ю правильними[br]трикутниками коло в 360°.[br][br][br]Отже, на площині Лобачевського у правильного трикутника[br]сума всіх його кутів менша за180°.
Цю побудову можна продовжувати нескінченно, повторюючи ті ж дії для побудови рядів[br]правильних трикутників навколо семи основних, як фрактал. Щоб почати побудову[br]нового ряду трикутників, необхідно побудувати гіперболічні кола, радіусом яких[br]служать сторони вже готових трикутників, знайти точки їх перетину і з'єднати їх[br]гіперболічними відрізками. На малюнку показано зображення креслення з чотирма[br]рядами гіперболічних трикутників.[br][br][br][br][b][i]Навчальне дослідження1[/i][/b][b].[/b] Дослідити, як[br]змінюється кількість трикутників в кожному ряду.[br][br][br]
Задача на побудову 2. Створити користувацький інструмент, що дозволяє скоротити кількість необхідних кроків для побудови рядів трикутників.
[br][br][b][i]Навчальне дослідження 2[/i][/b][b].[/b] На основі побудованої[br]моделі створіть користувацький інструмент, який будуватиме не один трикутник, а[br]ряд із них. Чи можливо створити один інструмент, який може побудувати ряди з 7-ми[br]або з 21-ого трикутника?[br][br][br][b][i]Навчальне дослідження 3[/i][/b][b]. [/b]Створіть користувацький[br]інструмент, який за вказаною кількістю рядів автоматично будує замощення[br]площині гіперболічними трикутниками.[br][br][br]Нагадаємо, що теселяція – це замощення площині однорідними фігурами так, щоб не було простору між ними. Наприклад: [br][br]
[br][br][b][i]Навчальне дослідження 4[/i]. [/b]Завантажте декілька зображень картин з Інтернету(наприклад:[br]https://lenacab.livejournal.com/202252.html) в креслення GeoGebra і співставте[br]їх із отриманою теселяцією з гіперболічних трикутників. Сформулюйте висновки.
[size=150]Приклади теселяції у мистецтві:[/size]
Джинні Беєр Day Lilies.
Ешер.Ящірки.
Ешер.Ящірки.
Відповідь
[br][br]Навчальне дослідження 1:[br][br][i] [/i]В основі розташовано 7[br]трикутників, як і в другому ряду. У третьому і в четвертому рядах побудовано по[br]21 трикутнику. Висновок – починаючи з другого ряду, в кожному непарному ряду[br]трикутників буде в три рази більше, ніж у попередньому. Відповідно, в п'ятому[br]та шостому рядах буде по 63 гіперболічних трикутника.[br][br][br]