Die Bogenlänge ist die Länge des Funktionsgrafen, wenn man ihn z.B. „gerade ziehen“ würde. Die Herleitung der Bogenlänge ist eine schönes Beispiel, wie man mit Differentialen, wie [math]dx[/math], tatsächlich rechnen kann:

Wir betrachten den Funktionsgraphen der Funktion [math]f(x)[/math] und daraus auch nur ein sehr kleines Stückchen: In der oben stehenden Grafik ist das Stückchen [math]\fgcolor{#AA0000}{\mathbf{\mathit{dL}}}[/math] gekennzeichnet. Es ist die Hypothenuse eines winzigen rechtwinkligen Dreieckes mit der Höhe [math]df[/math] und der Breite [math]dx[/math]. [br]Differentiale wie [math]dL[/math], [math]dx[/math] oder [math]df[/math] stehen immer für sehr kleine Zahlen. Physiker und Techniker schreiben daher eine Ableitung [math]f'(x)[/math] auch als [math]f'(x)=\frac{df}{dx}(x)[/math]. Der Bruch [math]\frac{df}{dx}[/math] beschreibt dann genau die Steigung von [math]f[/math] mit Hilfe dieses kleinen Steigungsdreieckes ([math]\to[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/c8e3dfgh]siehe [math]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math] Steigung linearer Funktionen [/url]).[br][br]Wir wollen aber die Länge des Funktionsgraphen ausrechnen. Die Länge [math]dL[/math] können wir in einer guten Näherung einfach mit dem Satz des Pythagoras berechnen: [math]dL^2=dx^2+df^2[/math] oder eben [math]dL=\sqrt{dx^2+df^2}[/math]. Denn wenn man das [math]dL[/math] sehr sehr klein wählt, dann ist keine Krümmung zu erkennen, dann ist [math]dL[/math] so gerade wie eine lineare Funktion.[br][br]Der Funktionsgraph besteht aus unendlich vielen kleinen [math]dL[/math]'s und wenn man die Länge des Funktionsgraphen berechnen will, muss man die Längen dieser [math]dL[/math]'s alle addieren. In der Mathematik geht so etwas mit einem Integral:[br][math]L_{ab} = \int\limits_a^b dL[/math] [br]Nun wechselt man die Koordinaten von [math]L[/math] auf [math]x[/math]: [math]dL = dL\,\frac {dx}{dx}=\frac{dL}{dx}\,dx=L'(x)\,dx[/math][br]Mit Integral sieht das dann so aus:[br][math][br]\begin{array}{ll}[br]L_{ab} &=\int\limits_a^b \frac {dL}{dx}\;dx\\[br]&=\int\limits_a^b \frac {\sqrt {dx^2+df^2}}{dx}\;dx\\[br]&=\int\limits_a^b \sqrt {\frac {dx^2+df^2}{dx^2}}\;dx\\[br]&=\int\limits_a^b \sqrt {\frac {dx^2}{dx^2}+\frac{df^2}{dx^2}}\;dx\\[br]&=\int\limits_a^b \sqrt {1+\left(\frac{df}{dx}\right)^2}\;dx[br]\end{array}[/math][br]also[br][math]\Large {\boxed{L=\int\limits_a^b \sqrt {1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx}} [/math][br]

Die oben abgebildete Funktion ist [math]f(x)=0,2\, x^3-0,2\, x^2-0,8\, x+0,8[/math]. Wir berechnen die Bogenlänge im Intervall [math]x\in[-2;1][/math], also von Nullstelle zu Nullstelle. Die Ableitungsfunktion von [math]f[/math] ist [math]f'(x)=0,6\,x^2-0,4\,x-0,8[/math]. Damit ist die Bogenlänge:[br][math]L = \int\limits_{-2}^1 \sqrt{1+(0,6\,x^2-0,4\.x-0,8)^2}\,dx \approx 4,013[/math][br]Da so ein kompliziertes Integral per Hand mit Schulmitteln nicht zu lösen ist, darf diese Rechnung guten Gewissens mit einem CAS gemacht werden.

Hier kann das Intervall zwischen A und B verändert werden, indem die Punkte verschoben werden. Außerdem können Sie eine neue Funktionsgleichung eingeben. Die Bogenlänge wird dabei automatisch berechnet.