[math]f(x,y)=\frac{1}{3}(y^2(x-1)+x^2(x+4))[/math][br]Die Kurve [math]f(x,y)=0[/math] ist die Niveaulinie zum Niveau [math]c=0[/math] der Funktion [math]f(x,y)[/math] mit dem Graphen [math]z=f(x,y)[/math]. Falls [math]f_y(x_0,y_0)\ne0[/math], dann ist [math]f[/math] in [math](x_0,y_0)[/math] lokal auflösbar und es gibt eine implizite Funktion [math]y=g(x)[/math] und es gilt [math]g'(x_0)=-\frac{f_x\left(x_{0,}y_0\right)}{f_y\left(x_{0,}y_0\right)}[/math]. [br][br]Definiert ist [math]f(x,y)[/math] nur für [math]-4<=x<1[/math]. Für festes [math]x_0[/math] ergibt sich die partielle Funktion [math]f(x_0,y)[/math], deren Anstieg im Punkt [math](x_0,y_0)[/math] gerade [math]f_y(x_0,y_0)[/math] ist. Falls [math]f_y(x_0,y_0)\ne0[/math] ist, dann ist [math]f(x_0,y)[/math] in einer kleinen Umgebung von [math](x_0,y_0)[/math] streng monoton wachsend (oder fallend) und es gibt deshalb genau ein [math]y_0[/math] mit [br][math]f(x_0,y_0)=0[/math].[br][br]Mit dem Parameter [math]t[/math] wandert der Punkt [math]P[/math] entlang der Niveaulinie und am Anstieg der Tangente kann man sehen ob [math]f_y(x_0,y_0)\ne0[/math] ist. In [math](-4,0)[/math] und [math](0,0)[/math] gibt es eine waagerechte Tangente (Anstieg [math]=0[/math]).