Toni Kroos am Elfmeterpunkt ([url=https://www.eurosport.de/fussball/elfmeter-kroos-bietet-sich-an_sto5677253/story.shtml]https://www.eurosport.de/fussball/elfmeter-kroos-bietet-sich-an_sto5677253/story.shtml[/url], letzter Zugriff: 17.09.2019)
Elfmeterschießen bei der WM - Binomialverteilung entdecken
Einführung
Zufallsexperimente, bei denen nur zwei Ausgänge (Treffer oder Niete, Erfolg oder Misserfolg) möglich sind, nennt man [b]Bernoulli-Experimente.[/b] Führt man ein Bernoulli-Experiment mehrfach durch, so spricht man von einer [b]Bernoulli-Kette[/b]. Heute geht es darum, die Formel herzuleiten, mit der man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X = "Anzahl der Treffer" bestimmen kann. Diese Verteilung nennen wir [i][b]Binomialverteilung[/b][/i].[br][br][br]
Elfmeterschießen bei der WM
Ein WM-Elfmeterschießen wird vereinfacht modelliert: Es gibt fünf Schüsse, jeder Schuss endet entweder mit Treffer oder Nicht-Treffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit wird konstant mit p=0,75 angenommen. Untersucht, wie wahrscheinlich die möglichen Trefferzahlen von 0 bis 5 sind.
Aufgabe 1
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einen Elfmeter verwandelt, beträgt p=0.75. [br][br][b]Bestimmen[/b] Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Elfmeter nicht verwandelt wird.
Aufgabe 2
[b]Berechnen[/b] Sie mithilfe des Baumdiagramms (siehe unten), mit welcher Wahrscheinlichkeit das Team bei den nächsten zwei Elfmetern keinmal, einmal oder zweimal trifft. [br][br][i]Zur Kontrolle: Trennen Sie ihre Ergebnisse bei der Eingabe durch ein "-", z.B. 0.25-0.33-0.75. Runden Sie auf [b]zwei [/b]Nachkommastellen. [/i][br][br][b][i]Verwenden Sie die untenstehende Tabelle als Vorlage. [/i][/b]
Aufgabe 3
[b]Berechnen[/b] Sie nun die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe eines Baumdiagramms (siehe unten), dass eine Mannschaft bei den nächsten [b]drei[/b] Elfmetern keinmal, einmal, zweimal oder dreimal trifft. [br][br][i]Zur Kontrolle: Trennen Sie ihre Ergebnisse bei der Eingabe durch ein "-", z.B. 0.25-0.33-0.75. Runden Sie auf [b]zwei [/b]Nachkommastellen. [/i][br][br][b][i]Verwenden Sie die untenstehende Tabelle als Vorlage.[/i][/b]
Vorlage zur Auswertung der Ergebnisse
Werkzeug zum Erstellen der Baumdiagramme
Tempoaufgabe:
Betrachten Sie ihre Berechnungen in ihrer Tabelle. Können Sie Muster und Strukturen erkennen?
Aufgabe 4
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse in der Gruppe. Untersuchen Sie, welche Muster Sie in der Tabelle erkennen. Entwickeln Sie daraus eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau [b]k[/b] Treffern bei [b]n [/b]Versuchen.
Aufgabe 5
Überprüfen Sie Ihre Formel anhand von drei selbst gewählten Beispielen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten zunächst mit dem Taschenrechner und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse anschließend mit dem GeoGebra-Applet. Variieren Sie dazu die Werte von [b]n[/b], [b]p[/b] und [b]k[/b].
Vertiefungsaufgabe
1) Bestimmen Sie mit Hilfe von Geogebra die Wahrscheinlichkeit, dass ein Team [b]mindestens [/b]17 Treffer bei 20 Elfmetern erzielt - gesucht ist also [math]P\left(X\ge17\right)[/math].[br][br]2) Bestimmen Sie mit Hilfe von Geogebra die Wahrscheinlichkeit, dass das Team [b]höchstens[/b] 17 Treffer bei 20 Elfmetern erzielt, gesucht ist also [math]P\left(X\le17\right)[/math]. [br][br]3) Beschreiben Sie, welche Säulen im Diagramm jeweils zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gehören.