Die Erkundung des Skalarproduktes - nach Daniel Frohn

1. Annäherung an das Skalarprodukt mittels Satz des Pythagoras

Kreuzen Sie zur Kontrolle Ihrer Lösungen an, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind.

i) iii) ii)

Sie können den Lösungweg hier notieren. DANACH können Sie das Rechteck verschieben, um die Lösung zu kontrollieren.

Mögliche Bemerkung der Lehrperson an dieser Stelle:

[i]Es wurde nun eine Bedingung für die Orthogonalität von Vektoren gefunden.[br][br]Den Term [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img] = a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub] + a[sub]3[/sub]b[sub]3 [/sub] definieren wir als [b]Skalarprodukt[/b] von zwei Vektoren [/i][i][i] [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] und [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img][/i]. [br][br]Bevor dieses allgemein hergeleitet wird, sollt ihr nun die Eigenschaften des Skalarproduktes untersuchen.[/i]

2. Eigenschaften des Skalarprodukts

Wenn die Vektoren parallel zueinander sind, dann...

ist ihr Skalarprodukt stets negativ. ist ihr Skalarprodukt stets verschieden von 0. entspricht ihr Skalarprodukt genau dem Produkt aus den Längen/Beträgen der Vektoren.

Das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn...

beide Vektoren umgekehrt werden. die Vektoren ihre Länge und Ausrichtung beibehalten, sie aber im Raum verschoben werden. die Vektoren nach ihrer Änderung linear abhängig bleiben.

Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren behält seinen Betrag, aber ändert das Vorzeichen, wenn...

beide Vektoren umgekehrt werden. einer der beiden Vektoren umgekehrt wird. ein Vektor um 90° gedreht wird.

3. Das Skalarprodukt im allgemeinen Fall

Der Skalarprodukt soll nun durch eine [b]Projektion[/b] hergeleitet werden. Das bedeutet, dass der zum anderen Vektor senkrechte und parallele Anteil eines Vektors betrachtet wird.

[i]Achtung: Damit die Gleichungen dieser Aufgabe mit der Abbildung übereinstimmen, muss die Projektion von b auf a eingestellt sein. Bei Interesse können die Gleichungen für die Projektion von a auf b analog hergeleitet werden. [/i]

Welche geometrische Bedeutung hat das Skalarprodukt von zwei Vektoren?