Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Hier finden Sie eine Beschreibung aller Punkte, die zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen in Bayern in Klasse 10 vorkommen. Zu allen Punkten finden sich auch Testfragen, Aufgaben und Lösungen.
Table of Contents
- Definition der ganzrationalen Funktion
- Definition der ganzrationalen Funktion
- Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen
- Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen
- Berechnung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen
- Berechnung der Nullstellen
- Die Linearfaktorzerlegung
- Die Linearfaktorzerlegung
- Mehrfache Nullstellen und ihr Aussehen.
- Mehrfache Nullstellen und ihr Aussehen
- Das Verhalten im Unendlichen
- Das Verhalten im Unendlichen
- Skizzieren des Graphen
- Skizzieren des Funktionsgraphen
Definition der ganzrationalen Funktion
Aus dem Vorkurs kennen wir schon lineare Funktionen wie [math]f\left(x\right)=3x+1[/math]. Außerdem kennen wir schon quadratische Funktionen wie [math]f\left(x\right)=2x^2-7x+4[/math]. Bei der zweiten Funktion ist also noch ein [math]x^2[/math]-Term hinzugekommen. Nun schauen wir uns allgemeiner Funktionen an, zu denen auch [math]x^3[/math]- oder [math]x^4[/math]-Terme hinzukommen, wie z.B. [math]f\left(x\right)=8x^5+3x^4-2x^2-7x+4[/math], so spricht man allgemein von einer [b]ganzrationalen Funktion[/b]. [br][br]Der höchste vorkommende Exponent heißt [b]Grad[/b] der ganzrationalen Funktion. In unserem Beispiel ist die ganzrationale Funktion vom Grad 5. Lineare Funktionen sind übrigens ganzrationale Funktionen vom Grad 1, und quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 2.[br][br]Die Vorfaktoren vor den [math]x^5[/math]-, [math]x^4[/math]- usw. Termen heißen [b]Koeffizienten[/b]. In unserem Beispiel taucht in der Funktion kein [math]x^3[/math]-Term auf. Das heißt, dass der entsprechende Koeffizient 0 ist. D.h. man kann die Funktion ausführlicher auch so schreiben: [math]f\left(x\right)=8x^5+3x^4+0x^3-2x^2-7x+4[/math], was man normalerweise aber nie macht.[br][br]Wenn wir den Koeffizienten vor dem [math]x^2[/math]-Term allgemein [math]a_2[/math] nennen und den Koeffizienten vor dem [math]x^3[/math]-Term [math]a_3[/math] usw., dann lässt sich allgemein eine [b]ganzrationale Funktion n-ten Grades[/b] so schreiben:[br][br][math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math].
Die Symmetrie ganzrationaler Funktionen
Betrachten Sie folgende Abbildung. Um den Unterschied zwischen Punktsymmetrie zum Ursprung und Achsensymmetrie zur y-Achse zu sehen, schalten Sie zwischen beiden hin und her.
Wie man also sieht, gilt folgendes:[br][br]Der Graph von f ist [b]punktsymmetrisch[/b] zum Ursprung, wenn gilt:[b] f(-x) = -f(x)[/b][br][br]Der Graph von f ist [b]achsensymmetrisch[/b] zur y-Achse ,wenn gilt: [b]f(-x) = f(x)[/b]
Aufgabe
Betrachten Sie die Wertetabellen zu den beiden folgenden Funktionen. Die Werte in den linken Hälften der Tabellen sind noch nicht richtig. Die richtigen Werte lassen sich aus den Werten der rechten Seite ohne Rechnung mit einem Blick auf den Funktionsterm erschließen (warum?). Tragen Sie die richtigen Werte ein. [br][br]In der Abbildung sind bereits die Punkte der rechten Hälfte und der zugehörige Teil des Graphen eingetragen. Immer wenn Sie einen Wert in der linken Tabellenhälfte richtig eintragen, erscheint der zugehörige Punkt im linken Teil der Abbildung. Welche Symmetrie ergibt sich jeweils?
Es gilt für ganzrationale Funktionen also folgendes:[br][br]Enthält f nur Summanden mit [b]geraden[/b] Exponenten, so ist f [b]achsensymmetrisch[/b] zur y-Achse.[br][br]Enthält f nur Summanden mit [b]ungeraden[/b] Exponenten, so ist f [b]punktsymmetrisch[/b] zum Ursprung.[br][br]Achtung: Der konstante Term [math]a_0[/math] zerstört die Punktsymmetrie, nicht aber die Achsensymmetrie (warum?)[br]
Aufgabe
Geben Sie jeweils die Symmetrie der folgenden Funktionen an, indem Sie bei allen richtigen Aussagen ein Kreuz setzen. Sie können Ihr Ergebnis überprüfen, indem Sie am Ende der Seite den Button "Überprüfen" anklicken.[br][br] [math]f\left(x\right)=2x^3-x[/math] [math]g\left(x\right)=4x^5+3x^3-4[/math] [math]h\left(x\right)=x^6-3x^3+2x^2-x[/math] [math]k\left(s\right)=3x^6-7x^4+12[/math]
Berechnung der Nullstellen
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Man berechnet sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt: f(x) = 0. Das Problem ist nun, wie man die Gleichung, die sich dabei ergibt, löst. Es kann hier zu insgesamt [b]fünf[/b] verschiedenen [b]Situationen[/b] kommen.
1. Gleichung direkt auflösbar
Kommt in der Gleichung [b]nur ein Summand mit x[/b] vor, so lässt sich die Gleichung [b]direkt auflösen[/b].[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]2x^3-54=0[/math] | [math]+54[/math][br] [math]2x^3=54[/math] | [math]:2[/math][br] [math]x^3=27[/math] | [math]\sqrt[3]{}[/math][br] [math]x=3[/math]
2. Die Gleichung ist quadratisch. Lösung mit Mitternachtsformel
Liegt eine [b]quadratische Gleichung[/b] vor, lässt sie sich natürlich mit der [b]Mitternachtsformel[/b] (=MNF) lösen.[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]2x^2-8x+6=0[/math] MNF: [math]x_1=1[/math], [math]x_2=3[/math]
3. Es lässt sich x ausklammern
Enthalten alle Summanden ein x, so lässt sich ein [b]x ausklammern[/b], manchmal sogar ein x[sup]2[/sup], x[sup]3[/sup] usw. Das erleichtert die Rechnung erheblich. Nach dem Ausklammern liegt nämlich ein Produkt mit zwei Faktoren vor. Und ein Produkt ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Also schaut man sich beide Faktoren getrennt an und schaut, für welche x sie jeweils null werden.[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]-3x^4+12x^3+15x^2=0[/math][br] [math]x^2\left(-3x^2+12x+15\right)=0[/math][br] [math]x^2=0[/math] oder [math]-3x^2+12x+15=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] oder MNF: [math]x_2=-1[/math], [math]x_2=5[/math]
4. Die Gleichung ist biquadratisch. Lösung durch Substitution.
Enthält die Gleichung nur einen Summanden mit x[sup]4[/sup] und einen mit x[sup]2[/sup] und sonst keine weiteren Summanden mit x, so lässt sie sich mit Hilfe der [b]Substitution x[sup]2[/sup] = z[/b] lösen. In diesem Fall spricht man von einer [b]biquadratischen Gleichung[/b].[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]2x^4-20x^2+18=0[/math] | Substitution [math]x^2=z[/math][br] [math]2z^2-20z+18=0[/math][br] MNF: [math]z_1=1[/math], [math]z_2=9[/math][br] [math]x^2=z[/math] | Resubstitution[br] [math]x^2=1[/math] [math]x^2=9[/math] | [math]\sqrt{ }[/math][br] [math]x_1=-1[/math], [math]x_2=1[/math], [math]x_3=-3[/math], [math]x_4=3[/math]
5. Nullstelle raten. Polynomdivision.
Wenn keine der ersten vier Situationen vorliegt, müssen wir eine [b]Nullstelle raten[/b] und dann eine [b]Polynomdivision[/b] machen.[br][br]Wir raten, indem wir verschiedene Werte für x in den Funktionsterm einsetzen, solange bis dabei einmal null herauskommt. Anschließend teilen wir den Funktionsterm durch (x minus geratene Nullstelle).[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]x^3-4x^2-7x+10=0[/math] durch Raten erhält man die Nullstelle [math]x_1=1[/math][br] nun teilen wir den Funktionsterm durch (x-1):
Anschließend erhalten wir die weiteren Nullstellen, indem wir den Ergebnisterm der Polynomdivision gleich null setzen. Dabei ergibt sich wieder eine Gleichung, für die prinzipiell alle fünf Situationen erneut eintreten können. In unserem Fall liegt eine quadratische Gleichung vor, die wir mit der Mitternachtsformel lösen:[br][br] [math]x^2-3x-10=0[/math] MNF: [math]x_2=-2[/math], [math]x_3=5[/math][br][br]Damit haben wir alle Nullstellen (nicht die geratene Nullstelle [math]x_1=1[/math] vergessen!).[br][br]Wer das Vorgehen und besonders die Polynomdivision noch nicht verstanden hat, kann sich das alles noch einmal in folgendem Video erklären lassen:
Abschließend können Sie anhand folgender Aufgaben Ihr Verständnis überprüfen und einüben. Klicken Sie die Aufgaben an, damit sich ein Fenster mit Aufgaben und Lösungen öffnet. Sie können die pdf-Datei auch herunterladen oder ausdrucken.
Aufgaben-Gleichungen
Die Linearfaktorzerlegung
Hat eine Funktion f(x) eine Nullstelle x[sub]1[/sub], so ist sie - wie wir bei der Polynomdivision bereits gesehen haben - durch (x-x[sub]1[/sub]) teilbar. Das Ergebnis, das sich bei der Polynomdivision ergibt, ist wiederum ein Funktionsterm, den wir nun mit g(x) bezeichnen:[br] f(x):(x-x[sub]1[/sub]) = g(x)[br]Nach Multiplikation mit (x-x[sub]1[/sub]) ergibt sich: f(x) = g(x)(x-x[sub]1[/sub])[br][br]Wir halten das Ergebnis wie folgt fest: Hat f(x) die Nullstelle x[sub]1[/sub], so lässt sich von f(x) der Linearfaktor (x-x[sub]1[/sub]) "abspalten". D.h. f(x) lässt sich als Produkt aus dem so genannten [b]Linearfaktor[/b] (x-x[sub]1[/sub]) und einer Restfunktion g(x) umschreiben, deren Grad übrigens um genau 1 kleiner sein muss als der Grad von f(x).[br][br][b]Hinweis für Freaks[/b]: Dass sich f(x) tatsächlich in g(x)(x-x[sub]1[/sub]) umschreiben lässt, haben wir bei der Polynomdivision eigentlich schon vorausgesetzt und nicht wirklich bewiesen. Da steckt eigentlich der so genannte [b]Reduktionssatz[/b] dahinter. Den kann man beweisen. Wer wissen will, was dieser Satz genau sagt und wie er bewiesen werden kann, der darf sich das folgende Arbeitsblatt anschauen (bitte anklicken). (Aber nur Freaks!)[br]
Reduktionssatz
Nun würden wir nach der Polynomdivision ja g(x) = 0 setzen und die weiteren Nullstellen berechnen. Für g(x) gilt natürlich auch: Ist x[sub]2[/sub] eine Nullstelle, so lässt sich der Linearfaktor (x-x[sub]2[/sub]) abspalten, d.h. g(x) lässt sich umschreiben in g(x) = h(x)(x-x[sub]2[/sub]), wobei der Grad von h(x) genau um 1 kleiner ist als der von g(x). Insgesamt haben wir damit:[br] f(x) = g(x)(x-x[sub]1[/sub]) = h(x)(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]1[/sub])[br]Die lässt sich solange weiter machen, bis entweder die Restfunktion keine Nullstellen mehr besitzt oder f(x) komplett in Linearfaktoren zerlegt ist. Letzteres würde für eine ganzrationale Funktion n-ten Grades so aussehen:[br] f(x) = a(x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]3[/sub])...(x-x[sub]n[/sub])[br]wobei x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], ... x[sub]n[/sub] die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. Hier ist also die Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Der Term auf der rechten Seite heißt [b]Linearfaktorzerlegung[/b] von f(x). Es gilt also der folgende Satz:
Satz
Hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades genau n Nullstellen, dann lässt sie sich in die Linearfaktorzerlegung umschreiben:[br][br][justify] f(x) = a(x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]3[/sub])...(x-x[sub]n[/sub])[br][br]wobei x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], ... x[sub]n[/sub] die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. a ist ein Vorfaktor, und zwar genau derselbe Vorfaktor, der in f(x) vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten steht.[/justify]
Beispiel
Zugegeben, das klingt alles ziemlich abstrakt. Schauen wir uns ein Beispiel an.[br][br]Gegeben sei die Funktion [math]f\left(x\right)=2x^3-10x^2-12x[/math]. Diese Funktion 3-ten Grades hat - wie wir gleich sehen werden - genau 3 Nullstellen. Die Aufgabe lautet nun, f(x) in die Linearfaktorzerlegung umzuschreiben.[br][br]1. Schritt: Nullstellen berechnen: [math]2x^3-10x^2-12x=0[/math][br] [math]x\left(2x^2-10x-12\right)=0[/math][br] [math]x=0[/math] oder [math]2x^2-10x-12=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] MNF: [math]x_2=-1[/math], [math]x_3=6[/math][br][br]2. Schritt: Linearfaktorzerlegung aufschreiben: [math]f\left(x\right)=2\left(x-0\right)\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-6\right)[/math][br] oder vereinfacht: [math]f\left(x\right)=2x\left(x+1\right)\left(x-6\right)[/math][br][br]Durch Ausmultiplizieren können Sie nachrechnen, dass dieser Term tatsächlich äquivalent zum Ausgangsterm oben ist. Wie Sie sehen ist der Vorfaktor 2 in der Linearfaktorzerlegung derselbe wie der Faktor 2 vor dem x[sup]3[/sup] in dem Ausgangsterm. Von dort wird er auch einfach abgeschrieben.[br][br]Die Linearfaktorzerlegung hat den großen Vorteil, dass man die Nullstellen von f darin einfach ablesen kann. Also: [b]Immer freuen, wenn die Funktion einmal in dieser Form angegeben wird![br][br][/b]Abschließend können Sie nun Ihr Verständnis überprüfen und Einüben. Klicken Sie dazu das folgende Aufgabenblatt an und bearbeiten Sie die Aufgaben. Lösungen finden Sie ebenfalls auf dem Blatt.
Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung
Mehrfache Nullstellen und ihr Aussehen
Es kann vorkommen, dass beim Berechnen der Nullstellen eine Nullstelle mehrfach vorkommt. Beispielsweise könnte eine bereits geratene Nullstelle nach der Polynomdivision in der Rechnung erneut vorkommen:[br][br][u]Beispiel 1[/u]: [math]f\left(x\right)=2x^3-10x^2+14x-6[/math] durch Raten finden wir die Nullstelle [math]x_1=1[/math][br] Polynomdivision ergibt: [math]\left(2x^3-10x^2+14x-6\right):\left(x-1\right)=2x^2-8x+6[/math][br] Berechnung der weiteren Nullstellen. [math]2x^2-8x+6=0[/math] MNF: [math]x_2=1[/math], [math]x_3=3[/math][br][br]Hier kommt also die 1 ein zweites Mal als Nullstelle vor. Man spricht von [b]zweifacher Nullstelle[/b]. In der Linearfaktorzerlegung muss der entsprechende Linearfaktor auch zweimal aufgeführt werden:[br][br] [math]f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)[/math][br][br]In der Linearfaktorzerlegung erkennt man also eine zweifache Nullstelle am Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.[br][br][u]Beispiel 2[/u]: Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=3\left(x+2\right)\left(x+1\right)^3\left(x-4\right)^2[/math][br][br]Wir sehen, dass x[sub]1 [/sub]= -2 eine einfache, x[sub]2[/sub] = -1 eine dreifache und x[sub]3[/sub] = 4 eine zweifache Nullstelle von f ist.[br][br][u]Beispiel 3[/u]: Wir betrachten die folgende Funktion in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=x^2\left(x+5\right)\left(x-2\right)[/math][br][br]Wir sehen, dass x[sub]1 [/sub]= 0 eine zweifache Nullstelle ist (beachten Sie: x[sup]2[/sup] lässt sich umschreiben in (x-0)[sup]2[/sup]! ). x[sub]2[/sub] = -5 und x[sub]3[/sub] = 2 sind einfache Nullstellen von f.
Woran erkennt man beim Rechnen die Vielfachheit einer Nullstelle?
Beim Rechnen ergibt sich automatisch, ob die berechneten Nullstellen einfache oder mehrfache Nullstellen sind. Es gilt:[br][br][list][*]Ist einem beim Rechnen nichts besonderes aufgefallen, so liegt eine [b]einfache Nullstelle[/b] vor.[/*][/list][br][list][*][b]Taucht[/b] eine Nullstelle beim Rechnen wie in Beispiel 1 [b]mehrfach auf[/b], so liegt eine entsprechend [b]mehrfache Nullstelle[/b] vor.[/*][/list][br][list][*]Lässt sich ein [b]x, x[sup]2[/sup], x[sup]3[/sup] usw. ausklammern[/b], so ist [b]x = 0 eine einfache, zweifache, dreifache usw. Nullstelle[/b]. In der Linearfaktorzerlegung steht entsprechend ein Faktor x, x[sup]2[/sup], x[sup]3[/sup] usw. (vgl. Beispiel 3)[/*][/list][br][list][*]Kommt bei der [b]Mitternachtsformel beide Mal derselbe Wert[/b] heraus, so ist der entsprechende Wert eine [b]zweifache Nullstelle.[/b][/*][/list][br][u]Beispiel 4[/u]: [math]f\left(x\right)=2x^3-8x^2+8[/math] [br] Berechnung der Nullstellen: [math]2x^3-8x^2+8x=0[/math][br] [math]x\left(2x^2-8x+8\right)=0[/math][br] [math]x=0[/math] oder [math]2x^2-8x+8=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] MNF: [math]x_2=2[/math], [math]x_3=2[/math][br] Man sieht das x[sub]1[/sub] = 0 eine einfache und x[sub]2[/sub] = 2 eine zweifache Nullstelle ist. Die[br] Linearfaktorzerlegung sieht so aus: [math]f\left(x\right)=2x\left(x-2\right)^2[/math]
Das Aussehen von mehrfachen Nullstellen
Man kann am Graphen einer Funktion eine mehrfache Nullstelle erkennen, weil sie nämlich verschieden aussehen. Allgemein gilt:[br][br][list][*]Eine [b]einfache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[/b], d.h. der Graph schneidet die x-Achse.[br][/*][*]Eine [b]zweifache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[sup]2[/sup][/b], d.h. der Graph berührt die x-Achse.[/*][*]Eine [b]dreifache Nullstelle[/b] sieht aus wie [b]y = x[sup]3[/sup][/b], d.h. der Graph schneidet die x-Achse.[/*][*]usw.[/*][/list][br]Die folgende Abbildung zeigt noch einmal diesen Zusammenhang.
Zusammenfassendes Beispiel
Betrachten wir abschließend die Funktion f(x) in Linearfaktorzerlegung:[br][br] [math]f\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x+1\right)^3\left(x-1\right)^2[/math][br][br]Sie hat eine einfache Nullstelle x[sub]1[/sub] = -2, eine dreifache Nullstelle x[sub]2[/sub] = -1 und eine doppelte Nullstelle x[sub]3[/sub] = 1. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von f.
Das Verhalten im Unendlichen
Als nächstes untersuchen wir, wie sich der Graph im Unendlichen, d.h. ganz auf der rechten Seite ([math]x\rightarrow+\infty[/math]) bzw. ganz auf der linken Seite ([math]x\rightarrow-\infty[/math]) verhält. Kurz spricht man deshalb vom Verhalten für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math]. Unsere Frage lautet: Wie kann man anhand des Funktionsterms herausbekommen, wie sich der Graph am rechten und linken Rand verhält?[br][br]Wir betrachten dazu, wie sich eine ganzrationale Funktion verhält, wenn der Betrag von x immer größer wird. Im folgenden Applet ist eine ganzrationale Funktion gegeben. Mit Hilfe des Schiebereglers kann man den x-Wert sehr groß positiv bzw. sehr groß negativ werden lassen. Tun Sie dies. Welcher Term entscheidet bei unendlich großen Beträgen von x über das Vorzeichen von dem Gesamtergebnis?
Als Ergebnis halten wir fest: Das Verhalten für unendlich große x-Werte wird von dem Summanden mit dem [b]größten Exponenten dominiert[/b]. Deshalb können wir uns bei diesem Punkt der Untersuchung allein auf diesen Term konzentrieren.[br][br]Im obigen Beispiel sorgt also der erste Term dafür, dass für [color=#ff0000]große positive x[/color] die [color=#ff0000]Funktionswerte positiv unendlich[/color] werden. Und für [color=#38761d]große negative x[/color] sorgt der Term dafür, dass die [color=#38761d]Funktionswerte negativ unendlich[/color] werden.[br][br]Für den Graphen bedeutet dies: [color=#ff0000]Auf der rechten Seite[/color] geht er [color=#ff0000]nach oben[/color], und [color=#38761d]auf der linken Seite[/color] geht er [color=#38761d]nach unten[/color].[br][br]Kurz bringt man diesen Gedanken folgendermaßen auf den Punkt:
Und noch kürzer so:
Betrachten wir abschließend das Beispiel der Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^4+8x^3+3x-2[/math]. Es gilt:
Das heißt, dass der Graph von f [color=#38761d]auf der linken [/color][math]\left(x\rightarrow-\infty\right)[/math] und [color=#ff0000]auf der rechten Seite [/color][math]\left(x\rightarrow+\infty\right)[/math] jeweils nach [math]-\infty[/math], d.h. nach unten geht. Dies zeigt die folgende Abbildung.
Abschließende Aufgabe
Bestimmen Sie das Verhalten im Unendlichen der beiden Funktionen [math]f\left(x\right)=-8x^3+4x^2-x+5[/math] und [math]g\left(x\right)=3x^4-20x^3+20[/math][br]Kreuzen Sie richtig an und überprüfen Sie Ihre Lösung, indem Sie auf den Button "Überprüfen" klicken.
Skizzieren des Funktionsgraphen
Hat man die Symmetrie, die Nullstellen und das Verhalten im Unendlichen einer ganzrationalen Funktion bestimmt, kann man nun mit Hilfe der Ergebnisse nun den Funktionsgraphen skizzieren.[br][br][u]Beispiel[/u]: [math]f\left(x\right)=x^4+x^3-12x^2[/math][br][br]1. Symmetrie: keine erkennbar, da gerade und ungerade Exponenten vorkommen[br][br]2. Nullstellen: [math]x^4+x^3-12x^2=0[/math][br] [math]x^2\left(x^2+x-12\right)=0[/math][br] [math]x^2=0[/math] oder [math]x^2+x-12=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] MNF: [math]x_2=3[/math], [math]x_3=-4[/math][br] [color=#0000ff]x[sub]1[/sub] = 0[/color] ist[size=85][size=100] eine zweifache Nullstelle, [color=#38761d]x[/color][color=#38761d][sub]2[/sub] = 3[/color] und [color=#ff0000]x[sub]3[/sub] =[/color][color=#ff0000] -4[/color] [/size][size=100]einfache Nullstellen.[br][/size][/size][br]3. Verhalten im Undendlichen: [math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}x^4=+\infty[/math], d.h. der Graph verläuft rechts und links nach oben.[br][br]Damit lässt sich nun der Graph einfach skizzieren. Klicken Sie in dem folgenden Applet den Play-Button links unten und verfolgen Sie den Verlauf des sich ergebenden Graphen.
Aufgaben: Skizzieren von Graphen
Folgendes Arbeitsblatt enthält Aufgaben, in denen Sie noch einmal Symmetrie, Nullstellen und das Verhalten im Unendlichen bestimmen und anschließend den Graphen skizzieren sollen. Klicken Sie, damit sich ein Pdf-Blatt öffnet, das Sie auch herunterladen und ausdrucken können.
Aufgaben Graphen skizzieren
