Arco apuntado con cuadrado. Burgos

Un curioso complemento que podemos añadir a los arcos apuntados es un cuadrado en su interior, con sus diagonales paralelas a la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Imposta]línea de impostas[/url] y al [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Parteluz]parteluz[/url]. [br][list][*]Recordemos que el arco se apoya en las [b]impostas[/b] y la distancia entre ellas se denomina [b]luz[/b]. Llamamos [b]semiluz[/b] a la mitad de esta distancia. El [b]parteluz[/b] es la perpendicular a las impostas pasando por el centro del arco.[/*][*]Para los arcos de medio punto es el radio de la circunferencia, pero en los arcos apuntados, desplazamos el centro usado para trazar, lo que ocasiona esa forma de apuntada en la parte superior, llamada [b]clave[/b].[/*][*]Dos de los tipos más utilizados son los de tercio punto y cuarto punto. Denominados así pues el centro de cada arco se desplaza del centro de la figura 1/3 o bien 1/4 de la semiluz del arco.[/*][/list]Vamos a estudiar esta construcción con el cuadrado, en dos de los lugares que aparece en la ciudad de[b] Burgos[/b]: en la Catedral y en el monasterio de las Huelgas.[br]En el applet que hay a continuación podemos ver una modelización paso a paso de ambas. [br]Vamos a interactuar con la construcción para ver los diferentes pasos en cada uno de estos dos lugares. Para ello, pulsamos en los botones con flechas. Para cambiar de fotografía, basta pulsar en el nombre correspondiente.[br][br]Después ver cómo se ha realizado cada paso de esta interpretación geométrica, resolveremos algunas cuestiones relacionadas.[br]Una vez entendidas las construcciones, [b]¿qué tal si creamos nuestro propio modelo?[/b] [br]Más abajo, en la sección nuestro turno, daremos detalles de esta propuesta.

Arco con cuadrado en el Monasterio de Las Huelgas y en la Catedral de Burgos

Cuestiones

[list=a][*][b]¿Cuadrado o rombo?[/b] [br]La posición del cuadrado hace que algunas personas piensen que es simplemente "un rombo". [b]Razona[/b]:[list][*]¿Podrías explicar qué debe ocurrirle a un rombo para que sea un cuadrado? [/*][*]¿Depende de si está girado?[/*][/list][/*][*][b]Tipo de arco apuntado[/b]. [br]En el [b]paso 1[/b] de la construcción se comienza con un arco apuntado. [br][list][*][b]Indica[/b], para cada uno de ellos si es de tercio punto o de cuarto punto. [/*][*]Puedes marcar la casilla "escala" para facilitar el ver las medidas. [/*][*][b]Razona[/b]: como vemos, se ha dividido en partes de 12. ¿Por qué crees que será?[/*][/list][/*][*][b]El cuadrado central[/b]. [br]En el [b]paso 2[/b] construimos el cuadrado, que en el caso de la catedral modificaremos posteriormente para darle grosor. [br][list][*]dibujamos un cuadrado a cada lado del parteluz y trazamos la diagonal desde la imposta. [/*][*]Trazando una paralela a esas líneas desde puntos a la misma distancia del centro, los puntos de corte delimitan un cuadrado (ver paso 2 de la construcción).[/*][*][b]Justifica[/b] matemáticamente que, efectivamente, la figura resultante es un cuadrado.[/*][*][b]Resuelve[/b]: en nuestro caso ¿a qué distancia del centro comenzamos a trazar estas líneas? Usa la "escala".[/*][/list][/*][*][b]Arcos interiores[/b]. [br]En el [b]paso 3[/b] construimos los dos arcos apuntados interiores, tangentes al cuadrado (prolongando sus lados si es preciso) y con centro en la perpendicular a la línea de imposta que pasa por los vértices respectivos del cuadrado (ver paso 3).[br][list][*][b]Resuelve[/b]: una vez elegida la distancia a ese centro desde la que trazaremos el arco apuntado, ¿cuál debe ser el radio para asegurarnos de que sea tangente?[/*][*]En nuestro caso, el punto elegido será el mismo que usamos para trazar la paralela usada para trazar los otros lados del cuadrado. [br][b]Justifica [/b]que, entonces, el radio coincide con el lado del cuadrado.[/*][*]Nota: no importa que los arcos se corten en el centro. A partir de la intersección, podemos utilizar un segmento vertical.[/*][*]Fíjete en que con este procedimiento no hemos podido elegir cuánto nos alejamos del centro del centro del arco para trazar las circunferencias, con lo que el arco apuntado resultante no será uno de los habituales de tercio punto, cuarto punto o similares.[/*][/list][/*][*][b]Curiosidad[/b]. [br]Si nos fijamos en el paso 2 de la construcción del arco de Las Huelgas, parece que el [b]vértice [/b]superior izquierdo del [b]cuadrado[/b], dibujado de color amarillo, está situado precisamente [b]en la circunferencia[/b] usada para trazar el arco derecho. [br][list][*][b]Comprueba[/b] que esto es así. Pista: podemos usar el [b]Teorema de Pitágoras[/b] para calcular distancias.[/*][*][b]Resuelve[/b]: ¿ocurrirá para cualquier tipo de arco apuntado, por ejemplo en el caso de la Catedral?[/*][*][b](Avanzado)[/b] ¿Sabrías comprobarlo?[/*][/list][/*][/list]Por último, utilizando la escala 1/12, podemos trazar o aproximar los demás arcos apuntados que aparecen en la construcción.[br][br]En el caso de la catedral, se ha dado cierto "grosor" tanto a los arcos del paso 3 como al cuadrado central, pero manteniendo las condiciones de tangencia.[br]Las describiremos en el siguiente apartado.[br][br]

[list=a][*]Los rombos tienen las diagonales perpendiculares y los lados iguales dos a dos. Cuando los cuatro lados son iguales, entonces es un cuadrado. También podemos comprobar que sus ángulos internos sean rectos. Por supuesto, esto no depende de que giremos la figura.[/*][*]En "Las Huelgas", el radio se separa 3/12=1/4, así que es de cuarto punto, mientras que en la catedral, se separa 4/12=1/3, así que es de tercio de punto.[br]Para poder representar a la vez divisiones de 1/3 y de 1/4, necesitamos usar un denominador común a las dos. El menor posible es su mínimo común múltiplo: el 12. Por eso son divisiones de 12 partes.[/*][*]Está claro que las diagonales de los cuadrados elegidos son perpendiculares. Las otras líneas son paralelas, así que con esta construcción tenemos una figura con ángulos rectos. Pero también, por como lo estamos construyendo, sus diagonales son perpendiculares, por ser el parteluz y una paralela a la línea de impostas (es paralela por la simetría al construir). Por tanto, se ha obtenido un cuadrado.[br]Usando la "escala", la trazamos a una distancia de 3/12=1/3 en los dos casos.[/*][*]El radio debe ser la distancia de ese centro de trazado a la diagonal que partía de la imposta, porque para que una recta sea tangente a una circunferencia, la distancia de la recta al centro debe ser el radio. La distancia está determinada por la perpendicular del centro a la recta.[br]Por simetría de la construcción, las otra parte del arco será tangente al lado del cuadrado.[br]Si elegimos el mismo punto que al trazar los lados, la distancia del punto a la recta es precisamente la misma que entre las paralelas y por tanto, el lado del cuadrado.[/*][*]Tomando como 1 la distancia del centro del arco a las impostas,[br][list][*]El cuadrado mide 1,[/*][*]El [b]radio [/b]de la circunferencia es [math]1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}[/math], pues el centro está a distancia 1/4 del parteluz (tendría coordenadas (-1/4,0).[/*][*]La esquina del cuadrado tendría coordenadas (-1,1) así que, usando el Teorema de Pitágoras, la distancia al centro de la circunferencia sería [math]\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{16}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}[/math]. [br]Fíjate en lo bien que nos ha venido la Terna Pitagórica [math]3^2+4^2=5^2[/math]. ¿Conoces alguna otra?[/*][*]Así que el punto está en la circunferencia, pues la distancia a su centro es igual al radio.[/*][/list]Si el centro de los arcos estuviese a otra distancia, esta igualdad ya no tendría por qué ocurrir, como se aprecia a simple vista en el modelo de la Catedral, sin ni siquiera necesitar trazar la circunferencia. De hecho, solo ocurrirá cuando la distancia a la que situamos el centro de la circunferencia sea precisamente 1/4.[br]Para comprobarlo, (estos cálculos son algo más complejos).[list][*]Supongamos que el centro de la circunferencia está a distancia [math]x[/math].[/*][*]Con una cuenta similar a la anterior, tenemos que el radio sería [math]1+x.[/math][/*][*]Comprobamos cuándo son iguales, resolviendo la ecuación [math]1+x=\sqrt{1+(1-x)^2}[/math].[br]Es más sencillo si elevamos los dos al cuadrado, porque la raíz desaparece:[/*][*][math](1+x)^2=1+(1-x)^2[/math] que, desarrollando los cuadrados:[/*][*][math]\cancel{1}+\cancel{x^2}+2x=1+\cancel{1}+\cancel{x^2}-2x[/math], así que [math]4x=1[/math].[/*][*]Por lo que solo ocurre cuando [math]x=\frac{1}{4}[/math], que es el caso del monasterio de Las Huelgas.[/*][/list][/*][/list]

Dando grosor a los trazos en la catedral

Los arcos y el cuadrado de la catedral se han trazado incluyendo cierto grosor, pero teniendo en cuenta las relaciones de tangencia, para asegurar así la armonía de la construcción.[br][list=a][*][b]Grosor de los arcos. Paso 3[/b][list][*]Para establecer el grosor, en el [b]paso 3[/b] se ha trazado la circunferencia que pasa por el vértice superior del cuadrado, con centro en el centro de trazado de los arcos.[/*][*]Su intersección con la línea de impostas, que se ha marcado con un punto color granate, establece el grosor de los arcos construidos.[br]La circunferencia que pasa por ese punto, con centro el de trazado del otro arco nos permite trazar este arco con grosor. En el applet, se marca en gris en el paso 3.[/*][*][b]Razona[/b]: ¿cuál es la posición relativa entre esta circunferencia y la utilizada anteriormente para el arco? ¿Cómo nos garantiza esto que el arco tendrá ese "grosor" seleccionado?[/*][/list][/*][*][b]Grosor del cuadrado. Paso 4[/b][/*][list][*]Definimos el grosor del cuadrado a partir de una nueva recta. [/*][*]El grosor debe ser igual que el de los arcos y además queremos mantener la sensación de tangencia. En este caso, con los nuevos trazos de los arcos.[br][/*][*][b]Explica[/b] cómo se ha conseguido esto en el paso 4, a partir de las rectas dibujadas en color marrón.[/*][*]Fíjate que, para remarcar el papel de los nuevos puntos del cuadrado, la construcción incluye un arco que parte del nuevo vértice que hemos trazado sobre el parteluz. El arco se ha dibujado en marrón en nuestra construcción.[/*][/list][*][b]Ampliando el cuadrado. Pasos 4 y 5[/b][br][list][*]Fijémonos en la zona de la izquierda. En el paso 4, como nuevo vértice en la parte interior del grosor, elegíamos la intersección de la recta paralela y el lado.[/*][*]Como nuevo vértice en la parte exterior del grosor, el simétrico respecto respecto la perpendicular que pasa por el vértice del cuadrado antiguo. Los puntos y la recta se han dibujado de color morado.[/*][*]Por simetría, se trazan los demás puntos para esta ampliación del cuadrado.[/*][*][b]Razona[/b] por qué, con este nuevo cuadrado, se siguen dando las condiciones de tangencia con los arcos interiores, tanto para la parte superior del grosor como la inferior.[/*][/list][/*][/list][br]

[list=a][*]Las circunferencias son concéntricas, pues tienen el mismo centro. Esto hace que al trazarlas tengamos la sensación de que los puntos están siempre a la misma distancia, pues sí lo están los puntos correspondientes en la dirección de cada radio.[br][/*][*]Trazamos la perpendicular a la diagonal inicial desde el centro, y marcamos el pie de la perpendicular. También marcamos la intersección de la perpendicular con el arco que marcaba el grosor. Ahora basta trazar la paralela a la diagonal, que pasa por ese punto. Como hemos observado en el apartado anterior, la distancia entre esas rectas es precisamente el grosor que queremos. Además, como se sigue cumpliendo la condición de ser perpendicular, la nueva recta es tangente a la circunferencia.[/*][*]Por la simetría de la figura, basta con explicarlo para el primero de los arcos (a la izquierda de la construcción). Razonaremos las tangencias para su parte izquierda y su parte derecha, la parte superior y la inferior del grosor. Son 4 tangencias en total.[br]Para la [b]parte superior[/b] del grosor del arco.[list][*]En la parte [b]izquierda[/b] se sigue dando la condición de tangencia con la prolongación del lado del cuadrado, porque no hemos modificado esa recta, al tomar el nuevo vértice sobre ella.[/*][*]La parte [b]derecha[/b] del arco, es tangente a la parte interior del grosor del cuadrado, por ser los mismos trazos que ya habíamos construido en el paso 3 para que fuesen tangentes.[/*][/list]Para la [b]parte inferior[/b] del grosor del arco[br][list][*]La parte [b]izquierda[/b] es tangente a la prolongación de la parte inferior del grosor del cuadrado, porque así elegimos la recta con la que comenzamos su construcción (dibujada en marrón en el paso 4).[/*][*]La parte [b]derecha[/b] del arco a la parte exterior del grosor del cuadrado porque nuestra construcción del cuadrado la hemos hecho a partir de simetrías con la perpendicular a las impostas que pasa por el vértice del cuadrado antiguo. [br]Como precisamente esa recta es eje de simetría del arco, la tangencia que hemos justificado en el punto anterior justifica ahora, por simetría, la tangencia para este otro lado del arco.[/*][/list][/*][/list]

Nuestro turno

Ahora que comprendemos esta modelización matemática del arco con cuadrado, es el momento de hacer nuestro propio modelo. Para ello, podemos usar la aplicación GeoGebra o bien utilizar el applet "Modelizamos nuestro arco con cuadrado" que tenemos a continuación.[list][*]Por ejemplo, una primera construcción modelizando el monasterio de Las Huelgas obteniendo un resultado como el de la construcción que hemos analizado.[/*][*]Y una segunda construcción más "personalizada", no necesariamente sobre una fotografía, en el que elijas otras posiciones para los centros de las circunferencias, pero manteniendo las condiciones de tangencia, para garantizar la armonía del cuadrado y los arcos interiores.[/*][*]Basta con seguir unos pasos de construcción similares a los se van mostrando en el applet.[/*][*]No es necesario incluir las animaciones o los rellenos.[/*][/list]

Modelizamos nuestro arco con cuadrado

Instrucciones

El applet, por comodidad, incluye lo siguiente:[br][list][*]Botones que permiten cambiar entre las dos imágenes estudiadas.[/*][*]Además, podemos desactivar la imagen volviendo a pulsar en ellos (tendrá el mismo efecto que deslizar "Ver imagen" a la izquierda del todo).[/*][*]Se muestra la línea de impostas, con la posibilidad de mover el centro del arco y la imposta izquierda, si tenemos marcada la casilla "Mover...". La imposta derecha se calcula por simetría.[/*][*]Podemos mostrar la escala de divisiones de 1/12 y modificar ese denominador.[/*][*]Hemos dejado dos puntos que podemos mover sobre esta escala, por si queremos hacer pruebas.[/*][*]Podemos usar los botones de la barra de herramientas para utilizar puntos cualquiera, calcular intersecciones, trazar rectas, circunferencias, simetrías, etc.[/*][/list]

Imágenes utilizadas

[size=85][list][*]La fotografía del monasterio de Las Huelgas es del autor de este applet. Puede utilizarse con la misma licencia CC BY SA. Se incluye a continuación.[/*][*]La fotografía del arco de la Catedral de Burgos se ha utilizado con permiso de los autores. Pertenece con © a los autores de la guía de la exposición "Tesoros matemáticos de la Catedral de Burgos" y el [url=https://fundacioncajaruralburgos.es/tesoros-matematicos-catedral-burgos/]libro[/url] homónimo (páginas 62 y 186, respectivamente). En el libro, se hace un estudio de los arcos con cuadrado con un enfoque diferente al presentado aquí, basado en cálculos algebraicos, y también un estudio genérico de este tipo de arcos.[/*][/list][/size]

Arco con cuadrado en el Monasterio de Las Huelgas.

Information: Arco apuntado con cuadrado. Burgos