[justify]In diesem GeoGebra Projekt soll mit Hilfe der unten zur Verfügung gestellten Applets das Thema Differenzierbarkeit erarbeitet werden. [br][br][color=#ff0000]Das Ziel ist es, dass Sie wissen, was Differenzierbarkeit bedeutet und wann diese möglich ist.[/color][br][br]Im Abschnitt 1 - Erläuterung und Definition zur Differenzierbarkeit[br][br]Im Abschnitt 2 - Vertiefung (graphische Untersuchung von Funktionen auf ihre Differenzierbarkeit)[/justify]
[justify]Die Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen. Ist eine Funktion differenzierbar, kann an jedem Punkt auf dem Graphen der Funktion eine Tangente konstruiert werden und diese gibt Auskunft darüber, ob und wo die Funktion abgeleitet werden kann.[/justify]
[justify](Olivier Sète & Jörg Liesen: Analysis I und Lineare Algebra für Ingenieurwissenschaften TU Berlin, Differenzierbarkeit) [br][br][size=85][size=100]Zur Motivation sei[i] f : I → [/i][math]\mathbb{R}[/math] eine stetige Funktion auf dem Intervall [i]I [/i]und[i] x[sub]0[/sub], x[sub]1[/sub] ∈ I.[/i][/size][/size][size=85][size=100][br]Dann lässt sich eine Gerade durch die Punkte[i] (x[sub]0[/sub], f(x[sub]0[/sub])) und (x[sub]1[/sub], f(x[sub]1[/sub]))[/i] legen, eine sogenannte Sekante.[br][br]Die Steigung der Sekante ist [math]\frac{_{ }f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}[/math].[br][br]Die Sekante wird daher [math]s\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}\left(x-x_0\right)[/math] beschreiben.[br][br]Für [math]x_1\longrightarrow x_0[/math] geht die Sekante in die Tangente mit der allgemeinen Gleichung [math]t\left(x\right)=f\left(x_0\right)+m\left(x-x_0\right)[/math] über, sollte diese existieren.[br][br]Die Steigung der Tangente ist[br][br] [math]m=lim_{x_1\longrightarrow x_0}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}[/math][/size][/size] 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[/img][br][br][b]Definition[/b] (Differenzierbarkeit). Sei [i]f : R ⊇ D → R[/i] eine Funktion.[br]1) [i]f[/i] heißt differenzierbar in [i]x[sub]0[/sub] ∈ D[/i], falls[br][br] [math]f'\left(x_0\right):=lim_{x\longrightarrow x_0}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}[/math] [br][br]existiert.[i] f'(x[sub]0[/sub])[/i] heißt ableiten [i]f in x[sub]0[/sub][/i].[br] [br]2) [i]f[/i] heißt differenzierbar auf [i]D[/i], falls f in allen[i] x[sub]0[/sub] ∈ D[/i] differenzierbar ist. Dann heißt die Abbildung[br][br] [math]f':D\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto f'\left(x\right),[/math][br][br]die Ableitung von [i]f[/i].[br][br]Den Übergang von[i] f[/i] zu [i]f'[/i] nennt man Ableiten oder Differenzieren.[br] [br]([i]D[/i] = Definitionsbereich)[/justify][br]
[justify]Was diese Definition nun genau aussagt, können Sie dem nachfolgendem Applet entnehmen. [br][br]Dazu verschieben Sie den Punkt M Richtung P, so dass die beiden Punkte direkt übereinander liegen. Die Sekante nimmt dann die gleiche Steigung an wie die Tangente, da an dem Punkt, also wenn M genau auf P liegt aus der Sekante die Tangente wird. Überprüfen kann man dies anhand der automatisch berechneten Werte. An der Tangente wird direkt die Steigung angezeigt und zusätzlich mit der blauen Formel berechnet, die Steigung der Sekante wird in der roten Formel über die Punkte berechnet. [br][br]Es können alle Punkte frei verschoben werden.[br][br]Hinweis: Verschiebt man die Punkte M und P exakt aufeinander, kann es passieren, dass die Sekante verschwindet und der Wert wird nicht mehr dargestellt wird. [/justify]
Was passiert mit der Steigung der Sekante und der Tangente wenn diese übereinander liegen?
Verschieben Sie den Punkt x[sub]0[/sub] auf x=1. Welche Steigung können Sie am Steigungsdreieck der Tangente ablesen?
[justify]In dem Nachfolgendem Applet können Sie in das Eingabefeld Funktionen eintragen, die Sie auf die Differenzierbarkeit überprüfen wollen.[br][br]Sobald Sie eine Funktion eintragen, wird der Graph der Funktion mit einem Punkte A und der dazugehörigen Tangente konstruiert.[br][br]Verschieben Sie den Punkt auf dem Graphen und beobachten Sie das Verhalten der Tangente.[br][br]Sollte die Tangente an jedem Punkt auf dem Graphen sichtbar sein, so ist die Funktion differenzierbar.[br][br]Aufgrund der besseren Sichtbarkeit und Darstellung wurde der Definitionsbereich der Funktion auf (-3 ≤ x ≤ 3) begrenzt.[/justify]Hinweis: Es gibt Funktionen, da wird die Tangente weit außerhalb des sichtbaren konstruiert, entweder zoomen Sie dann sehr weit raus oder untersuchen eine andere Funktion.
Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² auf ihre Differenzierbarkeit.[br][br]Ist diese Funktion an jeder Stelle in dem gegebenen Definitionsbereich differenzierbar?
Untersuchen Sie die Funktion f(x) = |x| auf ihre Differenzierbarkeit. (Eingabe abs(x))[br][br]Ist diese Funktion an jeder Stelle in dem gegebenen Definitionsbereich differenzierbar?
Untersuchen Sie die Funktion f(x) = [math]\sqrt[3]{x}[/math] auf ihre Differenzierbarkeit. (Eingabe x^(1/3))[br][br]Ist diese Funktion an jeder Stelle in dem gegebenen Definitionsbereich differenzierbar?
Untersuchen Sie die Funktion f(x) = |x³+1| auf ihre Differenzierbarkeit. (Eingabe abs(x³+1))[br][br]Ist diese Funktion an jeder Stelle in dem gegebenen Definitionsbereich differenzierbar?
Nun haben Sie bestimmte Funktionen graphisch untersucht. Welche Erkenntnis erlangen Sie dadurch hinsichtlich der Differenzierbarkeit der Funktion? Wann ist eine Funktion differenzierbar oder wann nicht?
Zusatzfrage:[br][br]Das Thema Stetigkeit wurde durch Sie schon behandelt. Welche Aussage können Sie hinsichtlich der Stetigkeit und Differenzierbarkeit treffen?[br][br]Ist jede stetige Funktion differenzierbar?