放物線の極線と垂線のある性質

いろいろさまよっているうちにこんなことを見つけた。Ａの極線ｇと垂線ｈとの交点Ｂを極とする極線ｉは直角三角形の斜辺となる。この斜辺の中点Ｇを放物線の準線ＣＤが通る。

まず放物線についての基本的な性質について

証明を試みてみました。[br]まずは放物線に関する基本的な性質[size=150][br][url=https://www.geogebra.org/m/Zdp9hDMS#material/ThKhey72]放物線の準線からの２つの接線は直交することの証明[/url]　（ワークシート）[br]次は、放物線の極線と接線を作図していきます。[/size]

極線とFBが直交し、EB=BGであるわけ。Bを動かしてみよう。

「準線と垂直な直線上の点の極線は平行であることの証明」AとBの極線が交わるとすると、その点の極線はABを通るはず。ところが準線に垂線の極は無限遠点。よって、放物線の準線の垂線上の点の極線は平行になる。

証明のあらすじ

この現象は、全てつながっています。[br]だけど、証明は難しい。[br]いろいろな道筋があるけど、最初の仮定を何にするかがポイント。[br]垂線と中点をベースにすることにしました。[br]

証明は、下の作図手順を最初からたどりながら確かめていけばできるはずです。この証明には２週間もかかってしまいました。

対称性に気がつく！

この図を見ると、接線HCで対称だということに気がつきます。[br]そのことを先に証明すれば、この図の証明はもっと簡単になりますね。[br][br]それから大事なことに気がつきました。[br]この定理を使うと、放物線の焦点を簡単に求めることができます。[br][br](1)　まず適当な二点からこの性質を使って二つの中点を求めます。[br](2)　この二点を通る線が準線なので、この点からの極線を作図します。[br](3)　二本の極線の交点が焦点です。