Plano tangente y recta normal a una superficie[br]Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de[br]ecuaciones de la forma[br]Ecuación de una superficie .[br]Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general Una superficie dada por se puede convertir a la forma[br]general definiendo como[br]Puesto que se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada[br]por[br]Ecuación alternativa de la superficie .[br]EJEMPLO 1 Expresar una ecuación de una superficie[br]Dada la función[br]describir la superficie de nivel dada por[br]Solución La superficie de nivel dada por puede expresarse como[br]la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.[br]Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplicaciones[br]relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes al analizar superficies y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola[br]estacionaria es golpeada en un punto de su superficie, se mueve a lo largo de la línea de[br]impacto determinada por y por el centro de la bola. El impacto puede ser de dos maneras.[br]Si la bola que golpea se mueve a lo largo de la línea de impacto, se detiene y transfiere todo[br]su momento a la bola estacionaria, como se muestra en la figura 13.55. Si la bola que golpea no se mueve a lo largo de la línea de impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene[br]parte de su momento. La transferencia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre[br]a lo largo de la línea de impacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea,[br]como se muestra en la figura 13.56. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la[br]superficie de la bola en el punto P.[br][img]data:image/jpeg;base64,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