[size=85]Hier findest du die Grundrechenarten in aufsteigender Stufe. [br]Achte auf die Einhaltung der Vorfahrtsregeln[br] 1. Strichrechnungen[br] a. Addition[br] b. Subtraktion[br] 2. Punktrechnungen[br] a. Multiplikation[br] b. Division (Brüche)[br] 3. Exponentialrechnungen[br] a. Potenzieren[br] b. Radizieren[br] 4. Klammern[br]Wie im Straßenverkehr muss man auch in der Mathematik Vorfahrtsregeln einhalten, da man sonst nicht auf das richtige Ergebnis kommt. Es gilt dabei: je höher die Stufe einer Rechenart, desto mehr Vorrang hat sie.[br][br]Du kannst es dir über das Fabelwesen KlaPoPuStri merken:[br][br] - Klammer[br] vor[br] - Potenz (Potenz bzw. Wurzel)[br] vor[br] - Punkt (Multiplikation bzw. Division)[br] vor[br] - Strich (Addition bzw. Subtraktion)[br][br]Außerdem gilt: von links nach rechts[br][/size][br]

[size=85]Die Addition ist das dir bekannte Plus-rechnen. Sie gehört wie die Subtraktion zu den Strichrechnungen und ist mit ihr zusammen die erste Stufe des Rechnens. Die Subtraktion ist das dir bekannte Minus-rechnen.[br][br][table][tr][td]Rechenart[/td][td]Beispiel[/td][td]Besonderheit[/td][td]Term heißt[/td][td]a heißt[br][/td][td]b heißt[/td][/tr][tr][td]Addition[/td][td][math]a+b[/math][/td][td]Vertauschte Summanden ändern nicht das Ergebnis[/td][td]Summe[/td][td]1. Summand[/td][td]2. Summand[/td][/tr][tr][td]Subtraktion[/td][td][math]a-b[/math][/td][td]Nicht vertauschbar![/td][td]Differenz[/td][td]Minuend[/td][td]Subtrahend[/td][/tr][/table][br]Beachte, dass bei der Addition das Kommutativgesetz und auch das Assoziativgesetz gelten.[br][/size]

[size=85]Die Multiplikation ist das dir bekannte Mal-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Addition gleicher Summanden.[br][br]Beispiel: [math]6⋅5=5+5+5+5+5+5[/math] (Sechs Fünfer werden addiert)[br][br]Sie gehört wie die Division zu den Punktrechnungen und ist mit ihr zusammen die zweite Stufe des Rechnens.[br][br]Die Division ist das dir bekannte Geteilt-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Subtraktion gleicher Subtrahenden.[br][br]Beispiel: [math]30:5=30-5-5-5-5-5-5[/math] (Sechs Fünfer werden von 30 subtrahiert)[br][table][tr][td]Rechenart[/td][td]Beispiel[/td][td]Besonderheit[/td][td]Term heißt[/td][td]a heißt[/td][td]b heißt[/td][/tr][tr][td]Multiplikation[/td][td][math]a⋅b[/math][/td][td]Vertauschte Faktoren ändern nicht das Ergebnis[/td][td]Produkt[/td][td]1. Faktor[/td][td]2. Faktor[/td][/tr][tr][td]Division[/td][td][math]a:b[/math][/td][td]darf nicht den Wert "0" haben - nicht definiert[br]nicht vertauschbar![/td][td]Quotient[/td][td]Dividend[/td][td]Divisor[/td][/tr][/table][br]Beachte, dass bei der Multiplikation das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und auch das Distributivgesetz gelten.[br][/size]

[size=85]Die Brüche sind eine Darstellung der Division. Wir nutzen sie, ohne die Division direkt zu berechnen.[br][/size]

[size=85]Die Potenzieren ist das dir bekannte Hoch-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Multiplikation gleicher Zahlen.[br][br]Beispiel: [math]5^6=5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5[/math] (Sechs Fünfer werden multipliziert)[br][br]Sie gehört wie das Radizieren zu den Exponentialrechnungen und ist mit ihr zusammen die dritte Stufe des Rechnens.[br]Das Radizieren ist das dir bekannte Wurzel-rechnen (Wurzelziehen).[br][br][table][tr][td]Rechenart[/td][td]Beispiel[/td][td]Besonderheit[/td][td]Term heißt[br][/td][td]a heißt[/td][td]b heißt[br][/td][/tr][tr][td]Potenzieren[/td][td][math]a^b[/math][/td][td][br][/td][td]Potenz[/td][td]Basis (Grundzahl)[/td][td]Exponent (Hochzahl)[/td][/tr][tr][td]Radizieren[/td][td][math]\sqrt[b]{a}[/math][/td][td]Der Radikand darf nicht negativ sein[/td][td]b-te Wurzel[/td][td]Radikand[/td][td]Wurzelexponent[/td][/tr][/table][/size]

[size=85]Eine Potenz ist die Kurzschreibweise der Multiplikation von gleichen Faktoren. Dabei wird der Faktor a als Basis (Grundzahl) geschrieben, die Anzahl seines Vorkommens n als Exponent (Hochzahl).[br][/size]

[size=85]Es gibt beim Rechnen mit Potenzen ein paar Fälle, in denen du zwei oder mehrere Potenzen geschickter zusammenfassen bzw. umformen kannst:[br][br]Bei gleicher Basis gilt:[br][br][math]a^m⋅a^n=a^{\left(m+n\right)}[/math][br][br][math]\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n[/math] Achtung: [math](a\ne0)[/math][br][br][br]Bei gleichem Exponenten gilt:[br][br][math]a^n⋅b^n=(a⋅b)^n[/math][br][br][math]\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n[/math] Achtung: [math](b\ne0)[/math][br][br][br]Wird eine Potenz weiter potenziert, dann gilt:[br][br][math](a^m)^n=a^{\left(m\cdot n\right)}[/math]; [math]10000⋅10000=(10^4)^2=10^8[/math][br][/size]

[size=85]Rechnen mit Wurzeln[br][math]\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{(}a\cdot b)[/math][br][br][math]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/math][br][math]\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}[/math] [math](a,b\ge0)[/math]; [math]∛(10000)=∛(1000)⋅∛10[/math][br][br][math]\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}[/math] [math](a\ge0;b>0)[/math][br][br]teilweise Radizieren (Wurzelziehen)[br][br][math]\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}[/math] [math](a,b\ge0)[/math][br][br]Nenner rational machen[br][br][math]a/\sqrt{b}=\frac{(a\cdot\sqrt{b})}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\frac{a\cdot\sqrt{b}}{b}[/math] [math](b>0)[/math][br][/size]

[size=85][math]\sqrt{a}[/math] ist diejenige positive Zahl b, für die gilt: [math]b^2=a[/math]. [math](a>0)[/math][br][br][math]\sqrt[n]{a}[/math] ist diejenige positive Zahl b, für die gilt: [math]b^n=a[/math]. [math]\left(n\ge2;a>0\right)[/math][br][br]Für [math]n=2[/math] schreibt man statt [math]\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}[/math] .[br][br]Es ist [math]\sqrt[n]{0}=0[/math] für [math]n\ge2[/math].[br][br][br]Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen[br][br][math]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/math][br][br][math]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/math][br][br][math]\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}[/math][br][br][/size][math]\sqrt[n]{a^n}=a[/math] [size=85] [math](a\ge0;n>0)[/math][/size]

[size=85]Wird eine Term in eine Klammer gesetzt, dann möchte man damit die Reihenfolge des Berechnens ändern. Sie bedeutet: Der Term (in Klammer) wird zuerst ausgewertet.[br][br]Beispiel: [br][br][math]4+5⋅6=34[/math][br][br]Im oberen Beispiel muss man zuerst die Zahl fünf mit der Zahl sechs multiplizieren, da die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat.[br][br][br][br]Die Klammern ändern die Vorfahrtsregeln:[br][br][math](4+5)⋅6=54[/math][br][br]Jetzt muss zuerst die Zahl vier und die Zahl fünf addiert werden, da die Klammer Vorrang hat.[br][br]Es gibt verschiedene Arten vorn Klammern: ( ) oder { } oder [ ][br][/size]

[size=85]Es gibt in der Algebra drei grundlegende Rechengesetze:[br][br] - Kommutativgesetz[br] - Assoziativgesetz[br] - Distributivgesetz[br][/size]

[size=85]Das Kommutativgesetz wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet. Es gilt bei der Addition sowie bei der Multiplikation.[br][br]Beispiel: [br][math]a+b=b+a[/math][br][math]4+5=5+4[/math][br](beide Rechnungen liefern das gleiche Ergebnis)[br][br][math]a⋅b=b⋅a[/math][br][math]4⋅5=5⋅4[/math] [br](beide Rechnungen liefern das gleiche Ergebnis)[br][/size][br]

[size=85]Das Assoziativgesetz wird auch als Verknüpfungsgesetz bezeichnet. Es gilt bei der Addition sowie bei der Multiplikation.[br][br]Beispiel: [br][math]a+(b+c)=(a+b)+c[/math][br][math]4+(5+6)=(4+5)+6[/math][br](beide Rechnungen liefern das gleiche Ergebnis)[br][br][math]a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c[/math][br][math]4⋅(5⋅6)=(4⋅5)⋅6[/math][br](beide Rechnungen liefern das gleiche Ergebnis)[br][/size]

[size=85]Das Distributivgesetz wird auch als Verteilungsgesetz bezeichnet. Es gilt bei der Multiplikation sowie bei der Division.[br][br]Beispiel: [br][math]a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c[/math][br][br][math](a+b):c=a:c+b:c[/math][br][br]Das Distributivgesetz ist die Grundlage des Ausklammerns und des Ausmultiplizierens.[br][/size]