Εξισώσεις 1ου βαθμού (γραμμικές)
Table of Contents
- Εξισώσεις Ά (1ου) βαθμού
- Εξισώσεις Ά -1ου βαθμού
- Εξισώσεις τύπου α+x=β
- Εξισώσεις τύπου αx=β
- ζυγός εξισώσεις
- Εξισώσεις τύπου αx+β=γ
- Η έννοια της εξίσωσης. Όλοι οι τύποι εξισώσεων.
- Σύρε την αλγεβρική παράσταση στην αντίστοιχη λεκτική πρόταση
- Μετατροπή προτάσεων σε αλγεβρικές παραστάσεις
- Αντιστοίχιση προτάσεων με εξισώσεις
- Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού βήματα
- εξισώσεις 1ου βαθμού (1)
- Οπτικοποίηση αλγεβρικών εξισώσεων με χρήση ζυγού ισορροπίας
- Επίλυση εξίσωσης
- Εξισώσεις με ρίζες φυσικούς
- Ισορροπία εξίσωσης
- Ισορροπία εξίσωσης 2
- Επαλήθευση εξισώσης 1ου βαθμού
- Επίλυση εξίσωσης με ισορροπία
- Εξισώσεις 1ου βαθμού (ζυγαριά) 1
- Εξισώσεις 1ου βαθμού (ζυγαριά) 2
- Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού μιας μεταβλητής Επίδειξη
- Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού με επαλήθευση
- Απλές εξισώσεις 1
- Απλές εξισώσεις 2
- Λύσεις της εξίσωσης αx=β
- Γραφική επίλυση Εξίσωσης 1ου βαθμού
Εξισώσεις Ά -1ου βαθμού
Εξισώσεις
[b]Μεταβλητή[/b] [br]λέγεται κάθε αριθμός που μεταβάλλεται, δηλαδή κάθε αριθμός που μπορεί να πάρει πολλές τιμές. [br]Συμβολίζεται με ένα μικρό γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου (x, y, α, β). [br][br][b]Εξίσωση[/b] [br]λέγεται κάθε ισότητα που έχει έναν άγνωστο (μεταβλητή), αριθμούς και πράξεις μεταξύ τους. [br]Για παράδειγμα, μια εξίσωση είναι η 3x + 200 = x + 600. [br]Η παράσταση 3x + 200 λέγεται[b] πρώτο μέλος[/b] της εξίσωσης, ενώ [br]η παράσταση x + 600 λέγεται [b]δεύτερο μέλος [/b]αυτής.[br][br][b]Λύση ή ρίζα[br][/b]της εξίσωσης είναι ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση.[br]πχ η λύση της εξίσωσης x+3=9 είναι η x=6, αφού 6+3=9.[br][br]Η διαδικασία που κάνουμε για να φτάσουμε στη λύση της εξίσωσης λέγεται [b]επίλυση[/b] της εξίσωσης.[br][br]Εξισώσεις [b]α βαθμού[/b] λέγονται οι εξισώσεις που έχουν μεγαλύτερη δύναμη της μεταβλητής την 1[sup]η[/sup]. [br]Για παράδειγμα, εξίσωση α βαθμού (πρώτου βαθμού) είναι η 2x+1=9.[br][br]Ωστόσο, υπάρχουν εξισώσεις με βαθμό μεγαλύτερο από 1 ανάλογα με τη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται η μεταβλητή. Για παράδειγμα,[br]η εξίσωση x[sup]2[/sup]=4 είναι β βαθμού (δευτέρου βαθμού), ενώ [br]η εξίσωση x[sup]3[/sup]=27 είναι γ βαθμού (τρίτου βαθμού).
Ιδιότητες ισότητας
Μια σχέση ισότητας είναι στην ουσία μια ζυγαριά, η οποία ισορροπεί.[br]Γενικότεροι κανόνες για τις ισότητες: [br]Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.[br]Δηλαδή: Αν α = β τότε α + γ = β + γ [br]Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. [br]Δηλαδή: Αν α = β τότε α - γ = β - γ [br]Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. [br]Δηλαδή: Αν α = β τότε α · γ = β · γ [br]Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο (μη μηδενικό) αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. [br]Δηλαδή: Αν α = β τότε α:γ = β:γ , με γ ≠ 0 Γιατί πρέπει να βάλουμε τον περιορισμό γ ≠ 0 ; [br] [br] [br] [br]
[br][br][u]Μια εξίσωση 1ου βαθμού έχει μοναδική λύση, ή είναι αόριστη ή είναι αδύνατη.[/u][br]πχ1 η εξίσωση 2·x = 8 [b]έχει μοναδική λύση[/b] x = 4[br]πχ2 η εξίσωση 0·x = 0 έχει άπειρες λύσεις δηλαδή είναι [b]ταυτότητα ή[/b] [b]αόριστη[/b][br]πχ3 η εξίσωση 0·x = 5 δεν έχει καμία λύση δηλαδή είναι [b]αδύνατη[/b][br][br]
Έστω η εξίσωση 3x + 200 = x + 600[br][br]Για να βρούμε τον άγνωστο x εργαζόμαστε ως εξής: [br]3x + 200 = x + 600 [br][br]Αφαιρούμε το 200 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης [br]3x + 200 – 200 = x + 600 – 200 [br][br]Κάνουμε τις πράξεις [br]3x = x + 400 [br][br]Αφαιρούμε το x και από τα δύο μέλη της εξίσωσης [br]3x – x = x + 400 – x [br][br]Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και πράξεις [br](3 – 1)x = 400 [br]άρα 2x = 400 [br][br]Διαιρούμε με το 2 και τα δύο μέλη της εξίσωσης [br]Απλοποιούμε τα κλάσματα και έχουμε τη [br]λύση - ρίζα: x = 200[br][br]Όταν λύνουμε μια εξίσωση για να είμαστε σίγουροι ότι το έχουμε επιλύσει σωστά, στο τέλος κάνουμε επαλήθευση. Στο πρόβλημά μας [br]για x = 200 έχουμε: [br]Πρώτο μέλος: 3 ∙ 200 + 200 = 600 + 200 = 800 [br]Δεύτερο μέλος: 200 + 600 = 800 [br]Άρα η τιμή που βρήκαμε είναι σωστή![br][br]
Στην παραπάνω λύση της εξίσωσης 3x + 200 = x + 600 «απομονώσαμε» το x στο πρώτο μέλος [br]της εξίσωσης, προσθέτοντας ή αφαιρώντας και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό.