Bei der Berechnung der Fläche unter der Normalparabel auf der vorangegangenen Seite haben Sie das Konzept der Näherung der Fläche durch Rechteckstreifen kennengelernt. [br][br]Man teilt also die Strecke zwischen der oberen Grenze b unter der unteren Grenze a der Fläche in n gleich breite Streifen und erhält so Streifen der Breite [math]\Delta[/math]x, dann nimmt man sich den größten oder kleinsten Funktionswert und berechnet so die Fläche des Streifens.
Das Vorzeichen der Fläche
Können Sie Aussagen über das Vorzeichen der so berechneten Fläche machen? Gibt es bereichsweise Unterschiede? Begründen Sie!
Im Bereich zwischen 0 und 2 ist die Teilfläche negativ im Bereich größer 2 positiv.[br]Begründung: Die Breite der Streifen ist immer positiv, da obere Grenze b immer größer als untere Grenze a (so gewählt)[br]Im Bereich [0|2] ist der Funktionswert negativ [math]\Rightarrow f\left(x\right)\cdot\Lambda x>0[/math] [br]Im Bereich x>2 ist der Funktionswert positiv [math]\Rightarrow f\left(x\right)\cdot\Delta x<0[/math] [br]Es werden also je nur positive oder negative Teilflächen addiert, damit ist das Ergebnis positiv oder negativ
Überprüfung im Applet
Überprürfen Sie das Ergebnis im Applet
Freie obere Grenze
Stellen Sie sich nun vor, Sie verändern die obere Grenze. Beschreiben Sie den Verlauf des so berechneten Flächeninhalts.
Das Applet gibt die Antwort. Der Wert der Fläche wird angezeigt.
Tausch der Grenzen
Was geschieht, wenn die Grenzen ausgetauscht werden? Begründen Sie
Wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere Grenze, dan wird b-a und damit [math]\Delta[/math]x negativ, f(x) bleibt, also kehrt sich das Vorzeichen um. [br]Vertauschen der Grenzen wechselt das Vorzeichen der so berechneten Fläche.
Der Weg zur geometrischen Fläche
Was muß man tun, um die geometrische Fläche, die von der Funktion, der x-Achse und der oberen Grenze begrenzt wird zu bestimmen?
Die Gesamtfläche in Teilfächen oberhalb und unterhalb der x-Achse zerlegen (--> Nullstellen der Funktion bestimmen). Dann Beträge aufaddieren.
Ergebnis
Zur Beschreibung des Phänomens wurde der begriff des "orientierten Flächeninhalts" eingeführt. Dieser kann im Gegensatz zur geometrischen Fläche auch negativ sein