Auch in der Musik finden wir bei den Notenwerten Geometrische Folgen wieder:[br]Ganze, Halbe, Viertel, Achtel, 16tel, 32tel und sogar 64tel
Geometrische Folge und Reihe
Die einzelnen Teile des Horus-Auge symbolisierten die Stammbrüche der Zweierpotenzen, ergänzten sich allerdings nicht zu einem Ganzen, sondern nur zu 63/64. In diesem Arbeitsordner soll es um die Geometrische Folge und Geometrische Reihe gehen.
Table des matières
- Geometrische Folgen
- Einstieg mit Zahlsystemen
- Definition und Eigenschaften
- Logarithmische Spirale
- Geometrisches Mittel
- Geometrische Reihe
- Geometrische Reihe
- Summenformel
- Achilles und die Schildkröte
- Zusatz: Vom Mobile Game zum Schachbrett
- Spiel 2048
- Weizenkornlegende
- Zusatz: Fraktale - Der Sierpinski-Teppich und die Von-Koch-Schneeflocke
- Sierpinski-Teppich
- Von-Koch-Schneeflocke
Einstieg mit Zahlsystemen
Jedes gängige Zahlensystem basiert auf einer Geometrischen Folge mit [br]einer entsprechenden Basis. [br]Unser Zehnersystem oder auch Dezimalsystem hat, wie der Name schon sagt,[br] die Basis 10 und rechnet entsprechend mit den Potenzen von 10.[br][br]Hinter der Einser-Stelle versteckt sich die Zehn mit der Potenz 0, also [math]10^0=1[/math].[br]An die Zehner-Stelle tritt die Potenz 1, also [math]10^1=10[/math].[br]Die nächste Stelle, die Hunderter-Stelle, hat die Potenz 2, also [math]10^2=100[/math].[br][br]Hinter dem Komma haben wir die Zehnerpotenzen mit negativen Zahlen.[br]Für die Zehntel-Stelle haben wir [math]\frac{1}{10}=10^{-1}[/math] und für die Hundertstel-Stelle [math]\frac{1}{100}=10^{-2}[/math].[br][br]Von rechts nach links gelesen haben wir also die Geometrische Folge:[br][math]\ldots,10^5,10^4,10^3,10^2,10^1,10^0,10^{-1},10^{-2},10^{-3},\ldots[/math][br]
[table][tr][td][math]\ldots[/math][/td][td]Zehntausender[/td][td]Tausender[/td][td]Hunderter[/td][td]Zehner[/td][td]Einser[/td][td]Zehntel[/td][td]Hundertstel[/td][td]Tausendstel[/td][td][math]\ldots[/math][/td][/tr][tr][td][math]\ldots[/math][/td][td][math]10^4[/math][br][/td][td][math]10^3[/math][/td][td][math]10^2[/math][/td][td][math]10^1[/math][/td][td][math]10^0[/math][/td][td][math]10^{-1}[/math][/td][td][math]10^{-2}[/math][br][/td][td][math]10^{-3}[/math][/td][td][math]\ldots[/math][br][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][td][b]2[/b][/td][td][b]0[/b][/td][td][b]1[/b][/td][td][b]9,[/b][/td][td][b]5[/b][/td][td][b]8[/b][/td][td][b]3 [/b]...[br][/td][td][math]=2019\,\frac{7}{12}[/math][/td][/tr][/table]
Ergänzendes
Hin und wieder benutzen wir eine Teilfolge der geometrischen Folge zur [br]Basis 10 um Größenordnungen anzugeben, man kann sie auch als Folge zur [br]Basis 1000 definieren.[br][br][table][tr][td]Exa[/td][td]E[/td][td][math]10^{18}=1000^6[/math][/td][td]Trillion[/td][/tr][tr][td]Peta[/td][td]P[/td][td][math]10^{15}=1000^5[/math][/td][td]Billiarden[/td][/tr][tr][td]Tera[/td][td]T[/td][td][math]10^{12}=1000^4[/math][/td][td]Billion[/td][/tr][tr][td]Giga[/td][td]G[/td][td][math]10^9 \,=1000^3[/math][/td][td]Milliarden[/td][/tr][tr][td]Mega[/td][td]M[/td][td][math]10^6 \,=1000^2[/math][/td][td]Million[/td][/tr][tr][td]Kilo[/td][td]k[/td][td][math]10^3 \,=1 000^1[/math][/td][td]Tausend[/td][/tr][/table]
Andere Zahlsysteme mit anderen Basen sind auch möglich. Für die Informatik sind noch das Zweier-System bzw. Binärsystem und das Hexadezimal-System, also basierend auf der Zahl 16, sehr relevant. [br][br][table][tr][td]1024[/td][td]512[/td][td]256[/td][td]128[/td][td]64[/td][td]32[/td][td]16[/td][td]8[/td][td]4[/td][td]2[/td][td]1[/td][td][br][/td][/tr][tr][td][math]2^{10}[/math][/td][td][math]2^9[/math][/td][td][math]2^8[/math][/td][td][math]2^7[/math][/td][td][math]2^6[/math][/td][td][math]2^5[/math][/td][td][math]2^4[/math][/td][td][math]2^3[/math][/td][td][math]2^2[/math][/td][td][math]2^1[/math][/td][td][math]2^0[/math][/td][td][/td][/tr][tr][td][1[/td][td]1[/td][td]1[/td][td]1[/td][td]1[/td][td]1[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]1][sub]2[/sub][/td][td]= 2019[/td][/tr][/table]
Notenwerte im Zweiersystem
Im Hexadezimalsystem werden für eine vollständige Darstellung 16 [br]verschiedene Ziffern pro Stelle benötigt. Zu den "üblichen" 10 Ziffern [br]0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kommen noch A =10, B=11, C=12, D=13, E=14, [br]F=15 dazu.[br][br]Die Dezimal-Zahl [b]2019[/b] ergibt im Hexadezimal-System die Zahl [b]7E3[/b]:[br][br][math][7E3]_{16}=7\cdot16^2+14\cdot16^1+3\cdot16^0=2019[/math]
Geometrische Reihe
Reiht man die Folgenglieder einer Geometrischen Reihe, zum Beispiel als Abstände oder wie hier dargestellt als Quadrate mit entsprechender Seitenlänge, hintereinander auf, so bekommt man eine Strecke auf der x-Achse.[br]Die Summe dieser aufgereihten Seitenlängen nennt man Geometrische Reihe.[br]Man stellt schnell fest, dass für manche Werte von [math]q[/math] die Geometrische Reihe einen reellen, endlichen Wert annimmt und für manche Werte von [math]q[/math] diese Herangehensweise eher unsinnig erscheint.
Applet: Geometrische Reihe als Schnittpunkt einer Geraden
Übung 12 - Niveau 1 & 2
1.) Beschreibe, wie der y-Achsenabschnitt [math]n[/math] der Geraden mit dem Wert von [math]q>0[/math] zusammenhängt.[br]2.) Ermittle den Zusammenhang des y-Achsenabschnitts [math]n[/math] mit der Steigung [math]m[/math] der Geraden. Was fällt Dir für die Wert [math]m[/math] und [math]n[/math] auf, wenn [math]q[/math] zum Beispiel zwischen 0,5 und 1 liegt?
Übung 13 - Niveau 2
Stelle eine Gleichung für den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse in Abhängigkeit von [math]q[/math] und mit [math]q\ne1[/math] auf.
Spiel 2048
Das Spiel [i]2048[/i] wurde im März 2014 von dem 19-jährigen italienischen Web-Entwickler Gabriele Cirulli erstellt. Ziel des Spiels ist das Erstellen einer Kachel mit der Zahl 2048 durch das Verschieben und Kombinieren anderer Kacheln.[br]
Am Anfang befinden sich auf dem Spielfeld zwei zufällige Kacheln, die eine 2 oder eine 4 tragen. [br]Ein gültiger Spielzug besteht aus einer Richtungseingabe (oben, unten, rechts, links), welche die Kacheln in die jeweilige Richtung auf dem Spielfeld bewegt. [br]Der Spielzug ist nur dann gültig, wenn sich mindestens eine Kachel bewegt oder verändert bzw. das Spielfeld sich verändert.
Stoßen dabei zwei Kacheln mit der gleichen Zahl aneinander, kombinieren sie zu einer Kachel mit der Summe der beiden Kacheln.[br]Danach bzw. vor dem nächsten Zug erscheint in einem noch leeren Feld eine zufällige Kachel mit einer 2 oder 4.[br]
Das Spiel gilt als gewonnen, wenn eine Kachel zu 2048 kombiniert wurde, danach kann in der Regel aber noch weiter gespielt werden.[br]Das freie, "endlos" Spiel endet wenn kein Feld mehr frei ist und keine gültge Bewegung mehr möglich ist.
Wieviele unterschiedliche "tiles" ([i]Kacheln, Spielsteine[/i]) gibt es bzw. kann es maximal geben?
Wieviele Züge werden mindestens benötigt um die Zielvorgabe -2048- zu erreichen?
Welche Zahl steht auf dem größstmöglichen Spielstein?
Angenommen das Spielfeld sei am Ende eines perfekten Spiels vollständig besetzt. Wie groß ist dann die Summe aller Spielsteine?
Sierpinski-Teppich
Der Sierpinski-Teppich ist ein Fraktal, das auf den polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski zurückgeht. Aus einem Quadrat wird in der Mitte ein Neuntel der Fläche entfernt. Aus den um das Loch verbliebenen acht quadratischen Feldern wird wiederum je ein Neuntel der Fläche entfernt und so weiter.[br]
1.) Welcher Anteil der gesamten roten Fläche bleibt nach dem ersten Schritt vorhanden?[br]2.) Welcher Anteil der schon reduzierten roten Fläche bleibt nach dem nächsten (zweiten) Schritt vorhanden?[br]3.) Welcher Anteil der gesamten roten Fläche bleibt nach den ersten beiden Schritten vorhanden?
Nach wievielen Schritten ist nur noch die Hälfte (bzw. weniger) der ursprünglichen roten Fläche vorhanden?
Welche Aussage ist richtig?
Wie ist die Vorschrift für den roten Flächeninhalt?
(Bonusfrage)
Wie ist die Vorschrift für den weißen Flächeninhalt?[br]