[br]Do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej można również wykorzystać [b][color=#980000]II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego[/color][/b]: [br]Jeśli funkcja [math]f[/math] jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu [math]x_0[/math] oraz[br][list][*] [math]f' (x_0)=0[/math], [br][/*][*] [math]f''(x_0)\neq0[/math],[br][/*][/list]to funkcja [math]f[/math] posiada w punkcie [math]x_0[/math] maksimum lokalne właściwe, gdy [math]f''(x_0)<0[/math], oraz minimum lokalne właściwe, gdy [math]f''(x_0)>0[/math].[br][i][color=#666666][i][color=#666666][br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][i][color=#666666][i][color=#666666]Aby [i][color=#666666]za pomocą GeoGebry[/color][/i] wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji wykorzystując II warunek wystarczający, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[/color][/i][/color][/i][/td][/tr][/table][/color][/i]1. W Widoku CAS definiujemy funkcję [math]f[/math]. Określamy dziedzinę [math]f[/math].[br]2. Obliczamy pochodną funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...) lub [b]f'(x)[/b].[br]3. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji [math]f[/math] rozwiązując równanie [math]f'(x)=0[/math]. Korzystamy z polecenia [b]Rozwiąż[/b](...) lub [b]Rozwiązania[/b](...).[br]4. [i][color=#666666][i][color=#666666]Obliczamy wartość drugiej pochodnej w wyznaczonym punkcie stacjonarnym.[/color][/i][/color][/i][br][i][color=#666666]5. Obliczamy wartość funkcji w punkcie, w którym posiada ona ekstremum lokalne.[/color][/i][/color][/i]

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=4\sin^3x-3\sin x+1[/math] dla [math]x\in[-2\pi,2\pi][/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkcja [math]f[/math] jest dwukrotnie różniczkowalna w [math]\mathbb{R}[/math] i ma nieskończenie wiele punktów stacjonarnych postaci [math]x_k=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{3}k\pi[/math], gdzie [math]k\in\mathbb{R}[/math]. W przedziale [math][-2\pi,2\pi][/math] znajdują się tylko niektóre z nich. Manipulując suwakiem k określ, które punkty stacjonarne należą do przedziału [math][-2\pi,2\pi][/math]. Czy w punktach tych istnieją ekstrema lokalne?

Dla punktu stacjonarnego [math]x_0=\frac{\pi}{6}[/math] mamy: [math]f''(x_0)=9>0[/math], więc funkcja [math]f[/math] posiada w punkcie [math]x_0[/math] minimum lokalne o wartości [math]0[/math]. [br]Dla punktu stacjonarnego [math]x_1=\frac{\pi}{2}[/math] mamy: [math]f''(x_1)=-9<0[/math], więc funkcja [math]f[/math] posiada w punkcie [math]x_1[/math] maksimum lokalne o wartości [math]2[/math]. [br]Uzasadnij istnienie ekstremów lokalnych w pozostałych punktach stacjonarnych. [br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]: