[b][size=150][color=#ff7700]Grobstruktur der Sequenz und Kapitel dieses Buches[/color][/size][br]Kapitel I: Lokale Änderungsrate (numerisch) [/b][br]Erarbeitung der Grundvorstellung Lokale Änderungsrate im Anwendungskontext [i]schnellstes Landtier Gepard [/i]durch den Grenzübergang von mittlerer Geschwindigkeit zu momentaner Geschwindigkeit.[br]Verbale Definition auf dieser Basis und Ausweitung der Begriffe Bestand, absolute Änderung und mittlere sowie lokale Änderungsrate auf andere Kontexte.[br]Optional auch eine formal algebraische Betrachtung und Definition der Ableitung (und der Differenzierbarkeit) mit dem Übergang vom Differenzenquotient (der mittleren Geschwindigkeit) zum Differentialquotient (der Momentangeschwindigkeit) (s. Abschnitt [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/pmuvnap3][b]optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren[/b][/url]).[br][br][b]Kapitel II: Tangentensteigung (graphisch)[/b][br]Erarbeitung der Grundvorstellung Tangentensteigung zunächst im Kontext Gepard. [br]Explizite Umdeutung der Tangente vom geometrischen hin zu einem analytischen Verständnis.[br]Formal algebraische Betrachtung und Definition der Ableitung (und der Differenzierbarkeit) mit dem Übergang von dem Differenzenquotienten aus der Tangentensteigung zum Differentialquotient (s. Abschnitt [b][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/uchduad4]3. Schritt: Tangentensteigung als Grenzwert[/url][/b]). [br][br][b]Kapitel III: Übergang zur Ableitungsfunktion[/b] [br]Übergang von der Ableitung an einer Stelle zu der Ableitung als Funktion durch "graphisches Ableiten" in GeoGebra-MMS.

[size=150][b][color=#ff7700]Hinweis zu den Begriffen[/color][/b][/size][br]Die Begrifflichkeiten, die im Kontext Gepard eingeführt werden, stellen eine wichtige Grundlage für die gesamte Differentialrechnung dar.[br]Insbesondere die Unterscheidung von [b]Bestand [/b]und [b]Änderung[/b] und damit verbunden Bestandsfunktion und Ableitungsfunktion unterstützen später die Begriffsbildung beim Integral.

[size=150][b][color=#ff7700]Verständnis des Ableitungsbegriffs[/color][/b][/size][br]Beim Einstieg in die Differenzialrechnung wird häufig ein graphischer Zugang über die Tangente an einen Funktionsgraph genutzt. Diese Herangehensweise hat zwei entscheidende Nachteile:[br][list][*]die Hürde der Umdeutung des bisher geometrisch mithilfe des Kreises geprägten Begriffs Tangente auf Funktionsgraphen erschwert den Aufbau einer Vorstellung zum Begriff Ableitung[/*][*]die zentrale [b]Grundvorstellung [/b](s.u.) der Ableitung als Beschreibung des [b]Änderungsverhaltens [/b]eines funktionalen Zusammenhangs wird durch die rein graphische Betrachtung nicht deutlich.[/*][/list]Mit dem hier vorgestellten Vorschlag für einen Unterrichtsgang zum Einstieg in die Differentialrechnung erschließen sich die Schülerinnen und Schüler (SuS) den Begriff Ableitung im Kontext [i]schnellstes Landtier Gepard[/i] als die Geschwindigkeit des Geparden zu einem bestimmten Zeitpunkt ([b]lokale Änderungsrate[/b]) über Grenzwertbildung zur mittleren Geschwindigkeit.[br][br]Erst im Anschluss daran wird die graphische Darstellung eingebunden und die Grundvorstellung der Ableitung als [b]Tangentensteigung[/b] erarbeitet. [br]Darauf aufbauend folgt der Übergang von der Ableitung an einer Stelle hin zu einer Ableitungsfunktion.

[size=150][b][color=#ff7700]Grundvorstellungen zur Ableitung[/color][/b][/size][br]Wie für die zentralen Begriffe der Mittelstufe sind auch für die Ableitung sogenannte [b]Grundvorstellungen (GV)[/b] beschrieben, die abstrakte Begriffe anschaulich repräsentieren und Verbindungen zwischen Mathematik und Anwendungssituationen ermöglichen.[br]Nachfolgende [b]Abbildung [/b]gibt einen Überblick über die beschriebenen Grundvorstellungen zur Ableitung, Details zu den einzelnen Grundvorstellungen finden sich u.a. bei [url=https://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/2016/Roth_Siller_2016_Bestand_und_Aenderung.pdf][b]Roth und Siller (2016)[/b][/url].[br]Fokus dieser Sequenz sind die beiden GV lokale Änderungsrate und Tangentensteigung.[br]Zu den beiden anderen GV finden sich Materialien im Kapitel[b] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#chapter/982495]Anregungen für den weiteren Unterricht[/url][/b].

[size=150][b][color=#ff7700]GeoGebra-Applet, GeoGebra-Aktivität und GeoGebra-MMS[/color][/b][/size][br]GeoGebra ist in der folgenden Sequenz in verschiedenen Einsatzszenarien eingebunden, die unterschiedlich benannt sind:[br][br][b]GeoGebra-Applet[/b] bezeichnet eine vorkonfigurierte GeoGebra-Datei, wie sie in einer Vielzahl auf der Webseite von [url=http://www.geogebra.org]GeoGebra[/url] unter Materialien zu finden ist. [br][b]GeoGebra-Aktivitäten[/b] sind ebenfalls online unter Materialien zu finden, beinhalten aber neben einem GeoGebra-Applet weitere Elemente wie Aufgaben, Texte, Abbildungen oder weitere GeoGebra-Applets.[br][b]GeoGebra-MMS [/b]bezeichnet hier die Nutzung der GeoGebra-Oberfläche (Rechner Suite, Classic mit/ohne Prüfungsmodus) OHNE vorkonfigurierte Bestandteile.[br][br]Die unterschiedlichen Perspektiven für deren Einsatz im Unterricht wird im Abschnitt [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/k9szjqkw][b]Einsatz von GeoGebra im Unterricht[/b][/url] genauer beschrieben.

[size=150][b][color=#ff7700]Link zu den Fortbildungsmaterialien von Modul 1[/color][/b][/size][br]Link zur Präsentation [color=#ff0000](folgt)[/color]