[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebrabooks[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b][/b][url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t][b]DARBOUX Cycliden & Bizirkulare Quartiken[/b][/url] [/color]([color=#ff7700][i][b]Mai 2020[/b][/i][/color])[br][/right][/size][size=85][br]Das Applet oben soll exemplarisch den Zusammenhang darstellen zwischen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] in der euklidischen oder in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene und den Schnitten irgendeiner Quadrik mit der [b]RIEMANN[/b]schen [color=#ff0000][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color].[br]Die [color=#38761D][i][b]stereographische Projektion[/b][/i][/color] vermittelt zwischen den beiden Kurventypen. [size=50][i][u]Hinweis:[/u][/i] die stereographischen Bilder liegen zum Teil im Inneren der [color=#ff0000][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color], ein anderer Teil kann sehr weit außen liegen![/size][br][br]Schneidet eine [color=#1e84cc][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] die (Einheits-)[color=#ff0000][i][b] Kugel[/b][/i][/color], so ist die [color=#ff7700][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color] dieselbe für ein ganzes [color=#a64d79][i][b]Quadrik-Büschel[/b][/i][/color]:[br][/size][list][*][size=85] [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] + [math]\lambda[/math]*[color=#1e84cc][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] = 0 für reelles [math]\lambda[/math] : dies kann man in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] für die Gleichungen tatsächlich so eingeben![/size][/*][/list][size=85]In diesem [/size][size=85][color=#741B47][i][b][size=85][color=#a64d79][i][b]Quadrik-Büschel[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] liegt mindestens ein [color=#1e84cc][i][b]Kegel[/b][/i][/color] bzw. ein [color=#1e84cc][i][b]Zylinder[/b][/i][/color], zu diesem gehört ein [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color]. Begründen läßt sich dieser Sachverhalt mit Argumenten der [i][b]projektiven Geometrie[/b][/i] und Methoden der [i][b]Linearen Algebra[/b][/i]. Man findet aber auch diese [/size][size=85][size=85][color=#1e84cc][i][b]Kegel[/b][/i][/color] [/size] oder [/size][size=85][size=85][color=#1e84cc][i][b]Zylinder[/b][/i][/color][/size] im Applet mit vorsichtiger Variation des Parameters [math]\lambda[/math].[br]Zu den Kegel-Spitzen gehören polar [i][b]ebene[/b][/i] Schnitte mit der [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color]: das sind die [/size][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color][/size]. Die Polarebene selber wird von Kegel oder Zylinder in einem Kegelschnitt(!) geschnitten.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color] auf der [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] ergibt [color=#38761D][i][b]stereographisch projiziert[/b][/i][/color] eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] - und umgekehrt![br]Beim Start des Applets oben besitzt das [/size][size=85][size=85][color=#a64d79][i][b]Quadrik-Büschel[/b][/i][/color][/size] 4 Kegel oder Zylinder, also 4 [/size][size=85][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color][/size][/size]. Eine Kegelspitze liegt im Inneren der [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size], der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color][/size][/size] ist imaginär.[br]Die zugehörige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] ist achsensymmetrisch und spiegelsymmetrisch zum [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]. Sie kann als [color=#666666][i][b]Ortskurve[/b][/i][/color] mit Hilfe der [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]stereographische Projektion[/b][/i][/color][/size], aber auch in Parameterdarstellung angezeigt werden.[br]Vergleiche diese Kurve mit den implizit definierten Kurven, deren Gleichung im unteren Teil des Applet angegeben sind! [br][br]Der [/size][size=85][size=85][color=#1e84cc][i][b]Zylinder[/b][/i][/color][/size] und mit ihm die Schnittkurve und die zugehörige [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color][/size] lassen sich "verschieben" in [math]x[/math]-Richtung mit Hilfe des Reglers [b]v[/b]. Zu unserem Erstaunen ließ sich der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#1e84cc][i][b]Zylinder[/b][/i][/color][/size][/size] sogar mit der Maus "verschieben".[br]Die entstehenden Schnittkurven können 2-teilig, 1-teilig oder Kurven mit Doppelpunkt sein.[br][/size]

[size=85][u][i]Zu Details und Begründungen[/i][/u]: [color=#980000][i][b]geogebrabook[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb][color=#0000ff][i][b]Moebiusebene[/b][/i][/color][/url][br]Zu den Schnitten von [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] und [color=#3c78d8][i][b]Quadrik[/b][/i][/color]: [color=#980000][i][b]geogebrabook[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc][color=#0000ff][i][b]Kugel-Kegel-Schnitte[/b][/i][/color][/url][br][color=#980000][i][b]geogebrabook[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh][color=#0000ff][i][b]Kegelschnitt-Werkzeuge[/b][/i][/color][/url][br][/size]