Si [math]a,b\in\Re[/math][br][br][math]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math]
Numèricament sembla una operació senzilla:[br][br]Per exemple, si [math]a=1[/math] i [math]b=4[/math],[br] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left(1+4\right)^3=5^3=125[/math] que és equivalent a [math]1^3+3·1^2·4+3·1·4^2+4^3=1+12+48+64=125[/math]
Volem comprovar que: [math]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math][br][br]Calculem algebraicament el valor de la potència:[br][br][math]\left(a+b\right)^3=[/math][br][math]=\left(a+b\right)^2·\left(a+b\right)=\left(a^2+2ab+b^2\right)·\left(a+b\right)=[/math][br][math]=a^2·a+a^2·b+2ab·a+2ab·b+b^2·a+b^2·b=[/math][br][math]=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=[/math][br][math]=a^3+3·a^2b+3·ab^2+b^3[/math]
De forma similar al cas [math]\left(a+b\right)^2[/math], si a i b són dos valors positius, podran representar dues distàncies positives. En aquest cas, [math]\left(a+b\right)^3[/math] representarà el volum d'un cub d'aresta [math]a+b[/math].
Si dividim el cub d'aresta [math]a+b[/math] segons les seccions que hem proposat, veurem que ens queda trencat en els 8 ortoedres següents:[br][list][*][b][color=#9900ff]1 cub lila[/color][/b] d'aresta [math]a[/math] [math]\Rightarrow[/math] dimensió [math]a\times a\times a[/math] [math]\Rightarrow[/math] Volum [math]a^3[/math][br][/*][*][color=#6aa84f][b]3 ortoedres verds[/b] [/color]de dimensió [math]a\times a\times b[/math] [math]\Rightarrow[/math] Volum [math]a^2·b[/math][br][/*][*][b][color=#1155cc]3 ortoedres blaus[/color][/b] de dimensió [math]a\times b\times b[/math] [math]\Rightarrow[/math] Volum [math]a·b^2[/math][br][/*][*][b][color=#ff0000]1 cub roig[/color][/b] d'aresta [math]b[/math] [math]\Rightarrow[/math] dimensió [math]b\times b\times b[/math] [math]\Rightarrow[/math] Volum [math]b^3[/math][/*][/list]
La suma dels volums dels 6 ortoedres anteriors ens porta a comprovar la fórmula:[br][br]Volum cub d'aresta a+b[math]=\left(a+b\right)^3[/math][br]Suma de volums dels 6 ortoedres[math]=1·a^3+3·a^2b+3·ab^2+1·b^3[/math][br][br]Com que el volum total és el mateix, aquestes dues expressions algèbriques han de ser equivalents.