[b][u]Definition: [/u][/b]Als [b]Nullstellen[/b] bezeichnet man die x-Werte einer Funktion, für die [math]f\left(x\right)=0[/math] gilt.[br]Es handelt sich dabei um die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse im Koordinatensystem.[br][br]Man bestimmt die Nullstellen einer Parabel mit einem Funktionsterm der Form[br]      [math]f\left(x\right)=x^2+p\cdot x+q[/math] (also verschobene Normalparabeln mit a=1),[br][br]indem man Lösungen der [b]quadratischen Gleichung [/b][math]x^2+px+q=0[/math] bestimmt.[br][br]Man nennt p,q die [b][i]Koeffizienten[/i][/b] der Gleichung.[br][br]Für bestimmte Sonderfälle gibt es vereinfachte Verfahren, die Lösungen der Gleichung zu bestimmen.[br]

[b]Funktionstyp: [math]f\left(x\right)=x^2+q[/math][br][/b][br]Bei Funktionen dieses Typs fehlt der Term mit dem "x". Graphisch handelt es sich um Normalparabeln, die in y-Richtung nach oben oder unten verschoben sind. Je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet sind, besitzen sie zwei oder gar keine Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse).[br][b][br]Beispiel 1:[/b] [math]f\left(x\right)=x^2-16[/math][br]Die Parabel ist nach oben geöffnet und um 16 Einheiten nach unten verschoben, besitzt also zwei Nullstellen:[br][br][math]f\left(x\right)=0\Longleftrightarrow x^2-16=0\Longleftrightarrow x^2=16\Longleftrightarrow x=4\vee x=-4[/math][br][br]Die Quadratzahl 16 wird durch die Äquivalenzumformung +16 auf die andere Seite gebracht, anschließend wir die Wurzel gezogen.[br][color=#ff0000]ACHTUNG:[/color] Beim "Wurzelziehen" beachten, dass es immer zwei Lösungen gibt.[br][br][b]Beispiel 2: [math]g\left(x\right)=x^2+25[/math][/b][br][br]Die zugehörige Parabel ist um 25 Einheiten nach oben verschoben und nach oben geöffnet; es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse. In der Rechnung äußert sich das so, dass unter der Wurzel sich ein negativer Radikand ergibt, die quadratische Gleichung besitzt daher keine Lösung:[br][br][math]g\left(x\right)=0\Longleftrightarrow x^2+25=0\Longleftrightarrow x^2=-25\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{-25}[/math] also [math]L=\left\{\right\}[/math][br][br][b]Beispiel 3: [math]h\left(x\right)=-x^2+9[/math][/b][br][br]Die zugehörige Parabel ist nach [b]unten[/b] geöffnet und um 9 Einheiten nach oben verschoben. Es gibt daher zwei Nullstellen bei -3 und 3:[br][math]h\left(x\right)=0\Longleftrightarrow-x^2+9=0\Longleftrightarrow-x^2=-9\Longleftrightarrow x^2=9\Longleftrightarrow x=-3\vee x=3[/math]

[b]Beispiel 4:[/b] Steht vor dem x[sup]2[/sup] ein Streckung-/Stauchungsfaktor, so muss die quadratische Gleichung erst durch diesen Faktor dividiert werden.[br][br][math]f\left(x\right)=-4x^2+64[/math][br][br]Bestimmung der Nullstellen:[br][br][math]-4x^2+64=0\Longleftrightarrow-4x^2=-64\Longleftrightarrow x^2=\frac{-64}{-4}=16\Longleftrightarrow x=4\vee x=-4[/math]