Wir haben im letzten Applet schon gesehen, dass die Punkte des Zerfallsprozesses auf einer abfallenden Exponentialfunktion liegen. Wir sollten noch schnell nachvollziehen, dass jede Exponentialfunktion, insbesondere jede mit der Basis [math](1-p)[/math], eine äquivalente Darstellung mit der Euler'schen Zahl [i]e[/i] besitzt.
Die Zahl [math]\lambda:=-\ln\left(1-p\right)[/math] nennt man Zerfallskonstante. Genau wie die Zerfallswahrscheinlichkeit p gibt die Zerfallskonstante die Geschwindigkeit vor, mit der der Zerfallsprozess abläuft. Wenn wir mit physikalischen Größen und Einheiten rechnen hat sie die Dimension [math][Zeit]^{-1}[/math].
Übertrage die Umrechnungsschritte in dein Heft. Erläutere die Umrechnungen zu jeder neuen Zeile mit einer Rechenregel.
Zeile (2): Der natürliche Logarithmus [math]\ln(x)[/math] ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion [math]e^x[/math]. Es gilt[math]a=e^{\ln\left(a\right)}=\ln\left(e^a\right)[/math][br]Zeile (3): [math]\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)[/math][br]Zeile (4): [math]\ln(a^m)=m\cdot \ln(a)[/math] und [math]e^{a+b}=e^a\cdot e^b[/math][br]Zeile (5): [math]e^{\ln\left(a\right)}=a[/math] und definiere [math]\lambda:=-\ln\left(1-p\right)[/math]
Der Term [math]e^{-\lambda\cdot t}[/math] gibt also den Anteil der Anfangsmenge [math]N_0[/math] an, der zum Zeitpunkt [math]t[/math] noch vorhanden ist. [br]a) Berechne die Zeit [math]t_{\frac{1}{2}}[/math], nach der nur noch die Hälfte der Anfangsmenge vorhanden ist. Man nennt diese Zeit auch Halbwertszeit. Setze für [math]\lambda=1\cdot s^{-1}[/math].[br]b) Berechne die Zeiten [math]t_{\frac{1}{4}}[/math] und [math]t_{\frac{1}{8}}[/math], nach der nur noch ein Viertel bzw. ein Achtel der Anfangsmenge vorhanden sind.[br]c) Beschreibe was nach dem Ablauf einer Halbwertszeit geschehen ist. Welcher Anteil ist nach zwei, drei oder n Halbwertszeiten noch übrig?
a) Die Gleichung [math]e^{-\lambda\cdot t_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}[/math] auf beiden Seiten logarithmieren ergibt: [math]-\lambda\cdot t_{\frac{1}{2}}=\ln(\frac{1}{2}) = \ln(1) - \ln(2)[/math].[br]Da [math] \ln(1)=0[/math], erhalten wir: [math]t_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(2)}{\lambda}[/math]. Mit [math]\lambda = 1 \cdot s^{-1}[/math] folgt insgesamt [math]t_{\frac{1}{2}}=\ln(2) \cdot s[/math].[br]b) Analog gilt für [math]t_{\frac{1}{4}}=\ln(4) \cdot s[/math] und [math]t_{\frac{1}{8}}=\ln(8) \cdot s[/math]. Da [math]4=2^2[/math] und [math]8=2^3[/math] gilt weiterhin: [br][math]t_{\frac{1}{4}}=2\cdot\ln(2) \cdot s = 2\cdot t_{\frac{1}{2}}[/math] und [math]t_{\frac{1}{8}}=3\cdot\ln(2) \cdot s = 3\cdot t_{\frac{1}{2}}[/math].[br]c) Nach dem Ablauf einer Halbwertszeit ist die Hälfte der Anfangsmenge zerfallen. Nach zwei Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel übrig und nach drei Halbwertszeiten ist nur noch ein Achtel übrig.[br]Nach n Halbwertszeiten ist nur noch der Bruchteil [math]\left(\frac{1}{2^n}\right)[/math] übrig. [br][br]