Volume de um cilindro
Definição
[justify][/justify][justify]Volume de um cilindro é o que determina a capacidade volumétrica desse sólido, sendo possível determinar o espaço que ele ocupa ou qual a sua capacidade máxima de armazenamento, como é o caso de embalagens e seus conteúdos. O volume resulta do produto da área da base do cilindro pela sua altura e para ser calculado necessita das medidas do raio da base do cilindro e da altura desse sólido.[br][br]Considere um cilindro e um prisma com mesma altura [math]h[/math] e bases de áreas iguais a [math]A_b[/math] contidas em um plano [math]\alpha[/math].[/justify]
[justify]Qualquer plano b paralelo às bases e que intersecte os dois sólidos determina neles secções transversais congruentes às respectivas bases. Como as áreas das bases do cilindro e do prisma são iguais e valem [math]A_b[/math], então as secções transversais também têm área igual a [math]A_b[/math].[/justify][justify]Portanto, pelo princípio de Cavalieri, concluímos que calcular o volume do cilindro é equivalente a calcular o volume do prisma. Como o volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela medida da altura, então o volume do cilindro também o será, e podemos escrever:[/justify][br]volume do cilindro = (área da base)*(medida da altura) Em um cilindro circular reto de raio[math]r[/math], a área da base é dada por [math]A_b=\pi.r^2[/math] [br][br]Portanto, o volume do cilindro é dado por: [math]V=A_b.h\Longrightarrow V=\pi.r^2.h[/math]
Exercícios Resolvidos
[justify][/justify][justify]1-(Enem 2020) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A.[/justify][br][br]Se [i]R[/i] denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é
Resolução
[justify][br]Para calcular o volume de um cilindro, precisamos saber sua altura e o raio de sua base. Neste caso, a caixa-d’água A possui raio de medida [i]R[/i], e vamos denotar sua altura por [math]h_A[/math][sub][/sub]. Já a caixa-d’água B possui raio que vamos denotar por [i][/i][math]r[/math] e altura igual a 25% da altura da caixa A, ou seja,[br][/justify] [br][br]Altura da caixa-d’água [math]B=h_B=\frac{25}{100}.h_A\Longrightarrow\frac{1}{4}h_A[/math]
Além disso, o volume das caixas é o mesmo, ou seja, [math]V_A=V_B.[/math][br][br][br][br]Com esses dados, podemos utilizar a fórmula de volume do cilindro e igualar esses dois volumes:[br][br][math]V_A=V_B\Longrightarrow\pi.R^2.h_A=\pi.r^2.h_B[/math][br][br][br][math]R^2.h_A=r^2.\frac{1}{4}h_A[/math][br][br][br][br][math]R^2=r^2.\frac{1}{4}[/math][br][br][br][br][math]r^2=R^2.\frac{1}{4}\Longrightarrow r=2.R[/math][br][br][br][br][br][br]A alternativa correta é a alternativa b.
2-Qual deve ser a altura de um cilindro para que ele tenha volume igual a 7850 cm³ e raio igual a 5 cm?[br][br](Use [math]\pi=3,14.[/math])
Resolução
[math]V=\pi.r^2⋅h[/math][br][br][math]7850=3,14⋅5^2⋅h[/math][br][br][math]7850=3,14.25h[/math][br][br][math]h=\frac{^{7850}}{78,5}[/math][br][br][math]h=100cm[/math]
Exercício
[justify]1-Um galão no formato cilíndrico será reformado, e toda a sua parte externa será pintada. Sabendo que ele possui 1,2 metros de altura e raio igual a 40 centímetros, a área total desse galão é igual a:[/justify](Use [math]\pi=3,1[/math].)
2-Ainda sobre a questão anterior, calcule o volume desse galão em litros. Lembre-se 1 m³= 1000 litros.
3-Qual é o volume de um cilindro cuja altura é igual ao dobro de seu raio.
[justify]4-Um líquido que ocupa uma altura de 10 cm em determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior do que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente?[/justify]
5-Considere o sólido composto de dois cilindros retos, conforme indica a figura.
Calcule:[br][br]a) a área total da superfície desse sólido.[br][br]b) o volume total desse sólido.