[justify]La proyección de una línea en 3D sobre uno de los planos cartesianos es la línea que se obtiene al proyectar cada punto de la línea en 3D sobre el plano. La proyección de una línea en 3D sobre uno de los planos cartesianos se puede representar utilizando diferentes ecuaciones como ecuaciones generales, vectoriales, paramétricas y simétricas. La proyección de una línea en 3D sobre uno de los planos cartesianos se puede visualizar como la sombra que la línea en 3D proyectaría sobre el plano si una fuente de luz estuviera ubicada en el eje perpendicular al plano. La proyección de una línea en 3D sobre uno de los planos cartesianos conserva muchas de las propiedades de la línea original, como su pendiente y su intersección con los ejes del plano.[/justify]
[color=#ff0000]Ecuaciones en el plano de las rectas general, vectorial, paramétrica y simétrica[br][/color][br]En el espacio tridimensional (3D), las rectas se pueden representar mediante diferentes formas de ecuaciones: la ecuación general, la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica y la ecuación simétrica. A continuación, te presento cada tipo de ecuación y su descripción:[br][br][br][color=#ff0000]Recta en forma general:[/color][br]La ecuación general de una recta en 3D se expresa como:[br]Ax + By + Cz + D = 0[br]Aquí, A, B, C y D son coeficientes que determinan la orientación y posición de la recta en el espacio tridimensional.[br][color=#ff0000][br]Recta en forma vectorial:[/color][br]La ecuación vectorial de una recta en 3D se expresa como:[br]r = r0 + tv[br]En esta ecuación, r es un vector que representa cualquier punto en la recta, r0 es un vector que representa un punto base o punto inicial en la recta, t es un parámetro que puede variar y v es un vector de dirección que indica la orientación de la recta.[br][br][color=#ff0000]Recta en forma paramétrica:[/color][br]La ecuación paramétrica de una recta en 3D se expresa mediante las coordenadas x, y, z de la siguiente manera:[br]x = x0 + at[br]y = y0 + bt[br]z = z0 + ct[br]En estas ecuaciones, x0, y0 y z0 son las coordenadas de un punto base en la recta, mientras que a, b y c son los coeficientes que determinan la dirección de la recta en cada uno de los ejes. El parámetro t se utiliza para obtener diferentes puntos en la recta.[br][br][color=#ff0000]Recta en forma simétrica:[/color][br]La ecuación simétrica de una recta en 3D se expresa como:[br](x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c[br]En esta ecuación, x0, y0 y z0 son las coordenadas de un punto base en la recta, mientras que a, b y c son los coeficientes que determinan la dirección de la recta en cada uno de los ejes.[br][br][b]Estas diferentes formas de ecuaciones permiten describir y representar rectas en el espacio tridimensional, y cada una tiene su propia utilidad en diferentes contextos geométricos y matemáticos.[br][/b][br][br][br][br][br][br]
[color=#00ff00]Ejercicios de cada recta [br][br][/color]EJERCICIO 1[br][br][color=#ff0000]Dada la recta r que pasa por el punto P(1, 2, 3) y es paralela al vector v = (2, -1, 4). Encuentra las ecuaciones general, vectorial, paramétrica y simétrica de la recta.[br][br][/color]Solución:[br][br][b]Ecuación general:[/b][br]Para obtener la ecuación general de la recta, podemos utilizar el punto P y el vector dirección v. La ecuación general tiene la forma: Ax + By + Cz + D = 0.[br]Primero, necesitamos encontrar los coeficientes A, B, y C. Como la recta es paralela al vector v, los coeficientes A, B y C son las componentes del vector v:[br]A = 2, B = -1, C = 4.[br]Luego, sustituimos las coordenadas del punto P en la ecuación general y resolvemos para D:[br]2(1) - 1(2) + 4(3) + D = 0[br]2 - 2 + 12 + D = 0[br]12 + D = 0[br]D = -12[br]Por lo tanto, la ecuación general de la recta es: 2x - y + 4z - 12 = 0.[br][br][b]Ecuación vectorial:[/b][br]La ecuación vectorial de la recta se obtiene utilizando un punto base (en este caso, P) y el vector dirección v:[br]r = P + tv[br]La ecuación vectorial es: r = (1, 2, 3) + t(2, -1, 4).[br][br][b]Ecuación paramétrica:[/b][br]La ecuación paramétrica de la recta se obtiene descomponiendo las coordenadas x, y, z en términos de un parámetro t:[br]x = 1 + 2t[br]y = 2 - t[br]z = 3 + 4t[br]Por lo tanto, la ecuación paramétrica de la recta es: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 4t.[br][br][b]Ecuación simétrica:[/b][br]La ecuación simétrica se obtiene dividiendo las diferencias de las coordenadas por los coeficientes de la dirección:[br](x - 1) / 2 = (y - 2) / -1 = (z - 3) / 4[br]Por lo tanto, la ecuación simétrica de la recta es: (x - 1) / 2 = (y - 2) / -1 = (z - 3) / 4.
EJERCICIO 2[br][br][color=#ff0000]Encuentra las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto A(1, -2, 3) y es perpendicular a los planos xy y xz.[/color][br][br][b]Solución:[br][/b][br]Para encontrar la ecuación de la recta, necesitamos determinar su vector dirección, que será perpendicular a los planos xy y xz.[br][br]Vector dirección:[br]El vector dirección de la recta perpendicular a los planos xy y xz será el producto cruz de los vectores normales de ambos planos.[br]a) Plano xy:[br]El vector normal del plano xy es el vector u = (0, 0, 1).[br][br]b) Plano xz:[br]El vector normal del plano xz es el vector v = (0, 1, 0).[br][br]Calculamos el producto cruz entre u y v:[br]n = u x v = (0, 0, 1) x (0, 1, 0) = (-1, 0, 0).[br][br]Por lo tanto, el vector dirección de la recta es d = (-1, 0, 0).[br][br][b]Ecuación vectorial:[br][/b]La ecuación vectorial de una recta se obtiene utilizando un punto base (en este caso, A) y el vector dirección (d).[br]La ecuación vectorial es: r = A + td.[br][br]Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:[br]r = (1, -2, 3) + t(-1, 0, 0).[br][br]Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta es: r = (1 - t, -2, 3).[br][br][b]Ecuación paramétrica:[br][/b]La ecuación paramétrica de una recta se obtiene descomponiendo las coordenadas x, y, z en términos de un parámetro t.[br]Las ecuaciones paramétricas son: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.[br][br]Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:[br]x = 1 - t,[br]y = -2,[br]z = 3.[br][br]Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = 1 - t, y = -2, z = 3.[br][b][br]Ecuación simétrica:[/b][br]La ecuación simétrica se obtiene dividiendo las diferencias de las coordenadas por los coeficientes de la dirección.[br]Las ecuaciones simétricas son: (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c.[br][br]Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:[br](x - 1) / -1 = (y + 2) / 0 = (z - 3) / 0.[br][br]La ecuación se simplifica a: x - 1 = 0.[br][br]Por lo tanto, la ecuación simétrica de la recta es: x - 1 = 0.[br][br]