Studiere im GeoGebra Manual (https://geogebra.github.io/docs/manual/de) die Einträge zu [b]"Funktionen" [/b]und [b]"Invertiere".[/b][br][br]Löse anschließend folgende Aufgabenstellungen mithilfe Algebra-, Grafik- und CAS-Ansicht. Verwende dabei die Möglichkeit, Funktionen mit algebraischen Operatoren zu verknüpfen (z. B. [math]f\left(x\right)-g\left(x\right)[/math]), zu verketten (z. B. [math]f\left(x\right)\circ g\left(x\right)[/math]) oder zu invertieren.[br]

Ein Betrieb erzeugt eine flüssige Chemikalie. Bei der Produktion ergeben sich monatliche Fixkosten in der Höhe von 1800 € und variable Kosten von 15 € pro Liter. Für welche erzeugten (und verkauften) Produktionsmengen beträgt der Gewinn des Betriebs mindestens 3000 €, aber höchstens 6000 €?[br][i](Mathematik verstehen 6, Nr. 2.21, Woschitz et al., 2024)[/i]

Die Stückkosten für ein bestimmtes Produkt können für die erzeugende Firma durch die Funktion [i][math]K\left(x\right)=0,02x^2+15x+500[/math] [/i]beschrieben werden. Die Firma prüft im Verkauf zwei unterschiedliche Modelle, nämlich einerseits einen fixen Stückpreis von [i][math]p_{fix}=80[/math][/i] und andererseits einen variablen Stückpreis von [i][math]p_{variabel}=80-0,1x[/math].[/i] Vergleiche die beiden MOdelle und gib beiderseits ein Intervall für[i] [math]x[/math] [/i]an, für welches der Gewinn der Firma über 6000 € liegt.[br]

Ein kegelförmiges Messglas wie in der Abbildung wird mit Flüssigkeit gefüllt. Es sei V(h) das Flüssigkeitsglas im Messglas, wenn der Flüssigkeitsspiegel die Höhe h erreicht hat.[br][br]a) Ermittle mithilfe des Strahlensatzes den Funktionsterm für V(h) mit den Parametern H und R (Höhe und Radius des Messglases in dm, [math]H,R\in\mathbb{R}^+[/math]) her.[br][br]b) Auf das Wievielfache wächst das Flüssigkeitsvolumen, wenn die Höhe verdoppelt, verdreifacht, ver-k-facht ([math]k\in\mathbb{N}[/math]) wird?[br][br]c) Ermittle die Umkehrfunktion [math]h\left(V\right)=V^{-1}\left(h\right)[/math].[br][br]d) Angenommen der Wasserzufluss wird durch die Funktion [math]w(t)=0,1t[/math] beschrieben, wobei w(t) die im Glas befindliche Wassermenge in Liter in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Ermittle den Term h(t) eines geeigneten "Füllgraphens", der die Wasserhöhe h(t) im Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt.[br][br][i](Mathematik verstehen, Nr. 6.24, adpatiert, Woschitz, 2024)[/i]