Hodnost matice
[url=https://www.matweb.cz/hodnost-matice/]Hodnost matice[/url] je maximální počet lineárně nezávislých řádků.[br][br]Řádky považujeme za aritmetické vektory .[br]Poznámka: Ekvivalentně bychom mohli definovat hodnost matice pomocí sloupcových vektorů. [br][br] Můžeme používat tyto úpravy bez toho, aniž bychom změnili hodnost matice:[br][list][*]Prohodit libovolné dva řádky.[/*][*]Vynásobit řádek libovolným nenulovým výrazem.[/*][*]Přičíst jeden řádek ke druhému.[/*][*]Všechny předchozí úpravy lze použít i na sloupce[/*][/list]
Ekvivalentní úpravy matice *
Matici můžeme v GeoGebře zadávat tabulkou. Menu [i]Zobrazit>>Tabulka[/i] otevře prostředí podobné Excelu. Tabulku hodnot označíme a nástrojem [i]Matice[/i][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon]exportujeme do algebraického okna.[br]Druhým (rychlejším) způsobem je, zadat matici jako seznam řádků ve složených závorkách. Každý řádek je ohraničen složenými závorkami, prvky jsou odděleny čárkou. Např:[br][color=#0000ff][code]A={{1,2}, {3,4}}[/code][/color][br][br]V appletu níže je zadána matice [code]A[/code] z předchozího příkladu, ekvivalentní matici [i]elimA[/i] získáme použitím příkazu [code]SchodovityTvar(A)[/code]. [br]Matice [i]elimA[/i] má hodnost 2, ale poskytuje jinou bázi vektorového podprostoru než rozepsané ekvivalentní úpravy * výše.[br] Vektory (1, 2, -1, 0), (1, 0, 0, -1), (0, -2, 1,-1) a (2, 0, 0, 2) jsou lineárně závislé, generují jen vektorový prostor dimenze 2. Bazí tohoto podprostoru může být například dvojice vektorů (1, 2,-1, 0), (0,-2,1,-1) nebo (1, 0, 0, -1), (0, 1, -0.5, 0.5). [br]
Úloha
Mezi danými vektory a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 1), c = (1, 1, 1), d = (1, 2, 2) najděte maximální počet lineárně nezávislých vektorů. Určete dimenzi vektorového prostoru, který generují.
Příklad (Matematika I, str. 60)
Burda, P. a kol: [url=https://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/08_MI_KAP%202_1.pdf]Matematika I[/url]
V appletu výše je vyřešena úloha 12 a) pomocí Gaussovy eliminace matice [i]M[/i].[br][code]Mel = SchodovityTvar(M)[/code][br]Hodnost matice Mel je dva, jako generátory stačí vybrat jakékoliv dva lineárně nezávislé řádky. Doplníme-li první dva vektory (2, 1, -1, 4) a (-1, 3, 0, -1) vektory (0, 0, 1, 0) a (0, 0, 0, 1) získáme bázi celého R[sup]4[/sup].
Seznam užitečných příkazů:[br][color=#0000ff][url=https://wiki.geogebra.org/cs/P%C5%99%C3%ADkaz_Hodnost]Hodnost(A)[/url][br][url=https://wiki.geogebra.org/cs/P%C5%99%C3%ADkaz_Determinant]Determinant(A)[/url][br]SchodovityTvar(A)[br][url=https://wiki.geogebra.org/cs/P%C5%99%C3%ADkaz_Invertovat]Invertovat(A)[/url][br][url=https://wiki.geogebra.org/cs/P%C5%99%C3%ADkaz_Transponovat]Transponovat(A)[/url][br][/color][br]Podrobnější vysvětlení na serveru [url=https://www.matweb.cz/]Matematika.cz[/url], kapitola [url=https://www.matweb.cz/hodnost-matice/]Hodnost matice[/url].