Gegeben ist eine Gerade durch die Gleichung[br][math]g:[/math] [math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)[/math], [math]t\in\mathbb{R}[/math]

Der Stützvektor beginnt im Koordinatenursprung und zeigt von dort aus zu einem bestimmten Punkt der Geraden, hier im Beispiel zeigt er zum Punkt A.[br]Der Stützvektor ist [math]\vec{a}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)[/math], er zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt [math]A=\left(2\left|-2\right|1\right)[/math].

Der Richtungsvektor gibt die Richtung der Geraden an.[br]Hier ist [math]\vec{u}=\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)[/math] der Richtungsvektor. Er zeigt von Punkt A aus zu einem zweiten Punkt B der Geraden.[br]Wenn man Vektoren als Wegbeschreibung interpretiert, heißt das, dass die Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{u}[/math] zusammen den Weg vom Ursprung zum Punkt B beschreiben.[br]In x-Richtung geht man z.B. um +2 Einheiten (laut Vektor [math]\vec{a}[/math]) und dann um -4 (also in die entgegengesetzte Richtung um 4 Einheiten, laut Vektor [math]\vec{u}[/math]). Im Ziel ist man also bei der x-Koordinate -2 angelangt.[br]Entsprechend geht man in y-Richtung um -2 und dann um +3 Einheiten, also hat das Ziel die y-Koordinate +1.[br]In z-Richtung ght man erst um 1 und dann um 3, also zusammen um 4 Einheiten.[br]In Vektorschreibweise kommt man zum Ziel durch [br][math]\vec{a}+\vec{u}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\\3\end{matrix}\right)[/math]. Der Punkt B liegt also am Ort [math]B=\left(-2\left|1\right|3\right)[/math].

Wenn in der oben gegebenen Geradengleichung für [math]t[/math] ein anderer Wert als 1 eingesetzt, erreicht man nicht mehr den Punkt B.[br][br]Ist z.B. [math]t=\frac{1}{2}[/math], so geht man von A aus nur den halben Weg in Richtung zu B:[br][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-2\\1.5\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-0.5\\2\end{matrix}\right)[/math], also erhält man den Punkt [math]P=\left(0\left|-0.5\right|2\right)[/math].[br][br]Wählt man [math]t=1.5[/math], so geht man von A aus anderthalb mal so weit in die Richtung von [math]\vec{u}[/math], also über B hinaus, und gelangt durch[br][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+1.5\cdot\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-6\\4.5\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2.5\\4\end{matrix}\right)[/math] zum Punkt [math]Q=\left(-4\left|2.5\right|4\right)[/math][br][br]Mit [math]t=-0.4[/math] geht es von A aus in die entgegengesetzte Richtung von [math]\vec{u}[/math].[br][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\left(-0.4\right)\cdot\left(\begin{matrix}-4\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}+1.6\\-1.2\\-0.8\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\-3.2\\0.2\end{matrix}\right)[/math] zeigt auf den Punkt [math]R=\left(3.6\left|-3.2\right|0.2\right)[/math].[br][br][br]Sehen Sie sich die Gerade im GeoGebra-Applet aus verschiedenen Perspektiven an, und bewegen Sie den Schieberegler für t, um zu verschiedenen Punkten zu gelangen.

Siehe auch:[url=https://www.geogebra.org/m/bvgngk9z][br]Punkte auf einer Geraden II[br][/url]