[b][size=150]n-stufiges Bernoulli-Experiment [/size][/b] (Bernoulli-Versuch)[br]Dies bezeichnet eine Versuchsserie, die aus dem [b]n-maligen Durchführen eines Versuches[/b] besteht. [br]Jeder Versuch [br]hat genau [b]zwei Versuchsausfälle [/b] ( z.B Münze: "Kopf"und "Zahl", Würfel: "6er" und "kein 6er", "Ereignis" und "nicht Ereignis")[br]und[br]wird [b]unter den gleichen Bedingungen [/b]durchgeführt. [br][br]Die Versuche sind jeweils unabhängig von eineinander.[br][br][b][size=150]Binomialverteilung BV(n,p)[br][br][/size][/b]Die Zufallsvariable X nennt man [b]binomialverteilt[/b] mit den [b]Parametern n und p. [br][/b][list][*][b]n [/b]ist die Anzahl der Versuche [/*][*][b]p [/b]ist die Wahrscheinlichkeit/Häufigkeit, dass das Ereignis E eintritt[/*][*][b]k[/b] gibt die Anzahl der Versuche an, bie der E eintritt. Daher ist k immer kleiner oder gleich n. [/*][/list][br][size=150]P(X=k) = [math]\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}[/math] mit [math]0\le k\le n[/math] und [math]0\le p\le1[/math][/size][br]Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man [b]Binomialverteilung mit den Parametern n und p. [br][/b][br]X gibt dabei die Anzahl der Versuche an, bei der E eintritt. z.B Tritt eine Ereignis 5 mal auf, so gilt X= 5.[br][br]Folgend Bezeichnungen sind zu beachten: [br][b]P(X = k) [/b] Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X [b]genau den Wert k[/b] annimmt. Das Ereignis E tritt genau k mal auf. [br][b]P(X [math]\le[/math] k) [/b] Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X [b]höchstens den Wert k [/b]annimmt. Das Ereignis E tritt höchstens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen 0 und k an. [br][b]P(X [math]\ge[/math]k) [/b] Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X [b]mindestens[/b] [b]den Wert k [/b]annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen k und n an. [br][b]P( [math]a\le X\le b[/math] ) [/b] Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte [b]zwischen a und b [/b] annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens a-mal und höchstens b- mal auf. X nimmt alle Werte zwischen a und b an, wobei [math]a,b\in\left(0;n\right)[/math][br]

Das Galtonbrett geht zurück auf Sir Francis C. Galton (1822-1911).[br][br]In dieser Simulation werden Hindernisse - bei einer realen Umsetzung beispielsweise Nägel - in Form eines Dreiecks in 6 Reihen angeordnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel bei einem Hindernis nach links oder rechts fällt, ist gleich groß: [math]p=q=\frac{1}{2}[/math].[br]Die Verteilung der Kugeln in den Behältern entspricht einer [b]Binomialverteilung[/b] mit [b]n = 6[/b] und [b]p = 0,5[/b].[br][br]Berechnung der Wahrscheinlichkeiten[br][br]Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel den Weg nach rechts nimmt.[br]1 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)[br] [math]=\binom{6}{0}\cdot0,5^6+\binom{6}{1}\cdot0,5^5\cdot0,5^1+\binom{6}{2}\cdot0,5^4\cdot0,5^2+\binom{6}{3}\cdot0,5^3\cdot0,5^3+\binom{6}{4}\cdot0,5^2\cdot0,5^4+\binom{6}{5}\cdot0,5^1\cdot0,5^5+\binom{6}{6}\cdot0,5^6=[/math] [br] = 1·0,5[sup]6[/sup] + 6·0,5[sup]6[/sup] + 15·0,5[sup]6[/sup] + 20·0,5[sup]6[/sup] + 15·0,5[sup]6[/sup] + 6·0,5[sup]6[/sup] + 1·0,5[sup]6[/sup][br] [b]= 0,0156 + 0,0938 + 0,2344 + 0,3125 + 0,2344 + 0,0938 + 0,0156[/b]

Im Vergleich dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0.50.

Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p so gilt: [br][br]Erwartungswert E(X)= [math]\mu[/math] = [math]n\cdot p[/math][br]Varianz V(x)= [math]\sigma^2=n\cdot p\cdot\left(1-p\right)[/math][br]Standardabweichung [math]\sqrt{V\left(X\right)}[/math]= [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}[/math]

Bei einem Multiple Choice-Test mit 10 Fragen gibt es jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Jede der 10 Fragen ist jeweils unabhängig von anderen Fragen beantwortbar.[br]Der Test gilt als bestanden wenn mindestens 5 Fragen richtig beantwortet wurden.