[b]Квадратные уравнения[/b] — это уравнения вида [i]aх[sup]2[/sup]+bx+c=0[/i], где коэффициенты [i]a, b,c[/i] — это некоторые числа, причём a ≠ 0.[br][b]Решить квадратное уравнение[/b] — это значит найти все его корни или, напротив, установить, что корней нет.[br]Есть два самых распространённых способа решения таких уравнений: первый — с помощью формулы корней, второй — с помощью теоремы Виета. В статье мы рассмотрим оба варианта, чтобы вы могли выбрать более удобный для вас.[br][b]Основные понятия квадратных уравнений[/b]Чтобы при изучении темы не возникало сложностей с пониманием определений, давайте рассмотрим основные понятия квадратных уравнений.[br][list=1][*][b]Приведённое квадратное уравнение[/b] — это уравнение, в котором коэффициент а=1.[/*][*][b]Неприведённое квадратное уравнение[/b] — это уравнение, в котором коэффициент а≠1.[/*][*][b]Полное квадратное уравнение[/b] — это уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.[/*][*][b]Неполное квадратное уравнение[/b] — это уравнение, в котором хотя бы один коэффициент равен нулю.[/*][/list]1. если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0 (a + b + c = 0), то:[br][img width=247,height=67]https://tetrika-school.ru/blog/wp-content/uploads/2023/08/snimok-ekrana-122.png[/img][br]2. если сумма коэффициентов [i]а[/i] и [i]с[/i] равна коэффициенту [i]b[/i] (а + с = b), то:[br][img width=269,height=89]https://tetrika-school.ru/blog/wp-content/uploads/2023/08/snimok-ekrana-121-1.png[/img][br][img]https://tetrika-school.ru/blog/wp-content/uploads/2023/08/algoritm-resheniya-privedyonnyh-kvadratnyh-uravnenij-s-pomoshhyu-teoremy-vieta.png[/img][br]Любое уравнение, не обязательно приведенное можно так же решить с помощью дискриминанта[br][img]https://tetrika-school.ru/blog/wp-content/uploads/2024/08/4-16-1024x566.png[/img]

Решение квадратных уравнений через дискриминантКвадратные уравнения ax2+bx+c=0, у которых все коэффициенты a,b,с не равны 0, называются полными квадратными уравнениями.Чтобы их решать, нужно уметь находить дискриминант квадратного уравнения. Ничего страшного в этом нет, несмотря на странное называние. Дискриминантом уравнения ax2+bx+c=0 называют выражение:D=b2−4ac;[list=1][*]Если дискриминант получился больше нуля (D≥0), то квадратное уравнение имеет два корня, которые можно найти по формулам:x1=−b+√D2a;x2=−b−√D2a;[/*][*]Если дискриминант равен нулю (D=0), то квадратное уравнение имеет один корень:x=−b2a;[/*][*]Если дискриминант меньше нуля (D<0), то квадратное уравнение не имеет корней.[/*][/list]

Решение неполных квадратных уравнений[br]Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:[br][br]ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;[br]ax2 + c = 0, при b = 0;[br]ax2 + bx = 0, при c = 0.[br]Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.[br][br]Как решить уравнение ax2 = 0[br]Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.[br][br]Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.[br][br]Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.[br][br]Пример 1. Решить −6x2 = 0.[br][br]Как решаем:[br][br]Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.[br]По шагам решение выглядит так:[br]−6x2 = 0[br][br]x2 = 0[br][br]x = √0[br][br]x = 0[br][br]Ответ: 0.[br][br]Как решить уравнение ax2 + с = 0[br]Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.[br][br]Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.[br][br]Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:[br][br]перенесем c в правую часть: ax2 = - c,[br]разделим обе части на a: x2 = - c/а.[br]Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.[br][br]Если — c/а < 0, то уравнение x2 = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = - c/а не является верным.[br][br]Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.[br][br]В двух словах[br]Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению х2= -c/a, которое:[br][br]не имеет корней при — c/а < 0;[br]имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.[br] [br]Пример 1. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.[br][br]Как решать:[br][br]Перенесем свободный член в правую часть:[br]8x2 = - 5[br][br]Разделим обе части на 8:[br]x2 = - 5/8[br][br]В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.[br]Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.[br][br]Как решить уравнение ax2 + bx = 0[br]Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.[br][br]Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:[br][br]Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.[br][br]Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.[br][br]Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:[br][br]x = 0;[br]x = −b/a. [br]