Donats dos punts [i]F1[/i] i [i]F2[/i], que anomenarem focus, quin és el lloc geomètric dels punts del pla que la diferència de les distàncies als focus sigui constant?

En una finestra gràfica nova, dibuixeu dos punts i anomeneu-los [i]F1(-3,0)[/i] i [i]F2(3,0)[/i]. A la línia d'entrada poseu: [i]k[/i]=4. Inseriu un punt lliscant, anomeneu-lo [i]d1[/i] que prengui valors entre 0 i [i]8[/i] amb increment 0.1. A la línia d'entrada poseu: [i]d2[/i]=[i]d1[/i]+k. Dibuixeu una circumferència de centre [i]F1[/i] i radi [i]d1[/i]. Dibuixeu una circumferència de centre [i]F2[/i] i radi [i]d2[/i]. Marqueu els dos punts d'intersecció de les dues circumferències. Dibuixeu una circumferència de centre [i]F1[/i] i radi [i]d2[/i]. Dibuixeu una circumferència de centre [i]F2[/i] i radi [i]d1[/i]. Marqueu els dos punts d'intersecció de les dues circumferències. [br]Activeu el traç d'aquest 4 punts. Observeu que aquest quatre punts compleixen que la diferència de les distàncies als punts [i]F1[/i] i [i]F2[/i] és [i]4[/i].[br][br]Moveu el punt lliscant [i]d1[/i] i veureu el lloc geomètric dels punts del pla que la suma de les distàncies als dos punts és 4. Es tracta d'una recta? Es tracta d'una circumferència o d'una el·lipse? No, es tracta d'una corba anomenada hipèrbola i els punts [i]F1[/i] i [i]F2[/i] s'anomenen focus de la hipèrbola.[br][br]GeoGebra té una eina per dibuixar hipèrboles. Seleccioneu-la. Cliqueu sobre els punts [i]F1[/i] i [i]F2[/i] i sobre un punt negre del rastre. Observeu que la hipèrbola dibuixada coincideix amb el rastre negre. Observeu que a la [i]Finestra algebraica[/i] ha aparegut un nou objecte i la seva expressió algebraica, és l'equació de la hipèrbola.

L'equació general d'una hipèrbola, centrada en l'origen amb focus [i]F1[/i](-c,0) i [i]F2[/i](c,0) i que la resta de les distàncies sigui [i]k[/i], és:[br] [math]\text{\LARGE{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}}[/math] on [i]a[sup]2[/sup] = k[sup]2[/sup][/i]/4 i [i]b[/i][sup]2[/sup] = [i]c[/i][sup]2 [/sup]- [i]a[/i][sup]2[/sup] [br][br]Tenint en compte aquesta fórmula i amb llapis i paper, trobeu l'equació de la hipèrbola centrada a l'origen de coordenades amb focus [i]F1[/i](-4,0) i [i]F2[/i](4,0) i que la diferència de les distàncies sigui 6.[br]Introduïu la fórmula a la línia d'[i]Entrada[/i]. [br]Ha sortit una hipèrbola?[br]L'equació de la hipèrbola que es visualitza a la finestra algebraica és la mateixa que la que heu posat? Heu provat de clicar amb el botó dret sobre la fórmula?[br]Els valors d'[i]a[/i] i de [i]b[/i] de la fórmula de quina manera es visualitzen en la hipèrbola? I la [i]k[/i]?[br]Utilitzeu el comandament [i]Focus()[/i] per determinar els focus de la hipèrbola.

Descarregueu la imatge següent al vostre ordinador (cliqueu amb el botó dret sobre la imatge i seleccioneu [i]Anomena i desa[/i]). Amb l'eina [i]Imatge[/i], que trobareu al penúltim bloc d'eines, inseriu la imatge al GeoGebra. Amb l'eina [i]Hipèrbola[/i], intenteu ajustar la hipèrbola a la imatge.

Les hiperboles tenen una curiosa propietat que pots observar en aquesta construcció. Uns rajos de llum que sortissin del focus [i]A[/i] en direcció a la corba, en rebotar, sortirien en direcció oposada a [i]B[/i].

Feu la construcció anterior seguint els passos següents:[br]- Dibuixeu una hipèrbola qualsevol amb l'eina [i]Hipèrbola[/i].[br]- Dibuixeu un punt [i]D[/i] sobre la hipèrbola.[br]- Dibuixeu la recta tangent a la hipèrbola en el punt [i]D[/i].[br]- Dibuixeu la recta perpendicular a la recta anterior en el punt [i]D[/i].[br]- Feu una simetria de [i]A[/i] respecte aquesta recta.[br]- Dibuixeu els segments [i]AD[/i] i [i]BD[/i][br]- Dibuixeu la semirecta[i] DA'[/i]