[b][size=150]＜接線＞[/size][/b][br]y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))での接線の方程式[br]傾きm=f'(a)だから、[color=#0000ff][b][size=150]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/size][/b][/color]。[br][color=#0000ff]（例）[/color]f(x)=x[sup]3[/sup]-3xの接線を次の条件で求めよう。(1) (-2,-2)で接する（2) (2,2)を通る。[br]m=f'(x)=3x[sup]2[/sup]-3。(1)y=f'(-2)(x+2)-2=(3(-2)[sup]2[/sup]-3)(x+2)-2=9x+16[br](2)（a,f(a)）が接点なら、接線はy=f'(a)(x-a)+f(a)。[br]2=f'(a)(2-a)+f(a)がなりたつ。2=(3a[sup]2[/sup]-3)(2-a)+a[sup]3[/sup]-3a 。 -2a[sup]3[/sup]+6a[sup]2[/sup]-8=0。[br]a[sup]3[/sup]-3a[sup]2[/sup]+4=(a+1)(a[sup]2[/sup]-4a+4)=(a+1)(a-2)[sup]2[/sup]=0 a=2,-1。[br]a=2のとき、f(a)=2[sup]3[/sup]-3・2=2。f'(2)=3・2[sup]2[/sup]-3=9。y=9(x-2)+2=9x-16。[br]a=-1のとき、f(-1)=-1+3=2,f'(-1)=0。y=0(x+1)+2=2。y=2。[br][br][b][size=150]＜平均値の定理＞[br][/size][/b]グラフが微分可能（連続して、とがった点がない）ならグラフ上の２点A,Bを通る直線の傾きと同じ傾きの接線が引ける点Cがあり、x座標はCがA,Bの間にある。[br]正式な言い方では、ｙ＝ｆ(x)のグラフが、xがa以上b以下の区間でなめらかにつながっている（微分可能）とき、次の式を満たす実数ｃが存在する。f'(c)=[math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math] (cはaとbの間）[br][br][b][size=150]＜法線＞[/size][/b][br]y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))での法線の方程式[br]傾きm=-1/f'(a)だから、[b][size=150]y=-1/f'(a)(x-a)+f(a)[/size][/b]

曲線の関数を微分することで、曲線の形[color=#0000ff][shape of curves][/color]を知ることができます。[br]微分した関数の値が０または未定義になるｘを臨界数[color=#0000ff][[/color][color=#0000ff]critical number][/color]といいます。[br]臨界数の前後での符号変化によって、曲線の形状がわかります。[br][br][b][size=150]＜極大・極小＞[br][/size][/b]関数f(x)について、[br]導関数f'(x)の値が０になるｘの値をaとする。[br]x=aでf'(x)の値が（ー）から（＋）に変わるとき、f(x)はｘ＝aで減少から増加に転じる。[br]だから、x=aは[u]その付近では谷底[/u]になる。別の場所にもっと深い谷があるかもしれない。[br]全体の中の最小とは限らないので、[color=#0000ff][b]極小値[local or relative minimum][/b][/color]という。[br]反対の場合、[br]x=aでf'(x)の値が（＋）から（ー）に変わるとき、f(x)はｘ＝aで増加から減少に転じる。[br]だから、x=aは[u]その付近では山頂[/u]になる。別の場所にもっと高い山があるかもしれない。[br]全体の中の最大とは限らないので、[color=#0000ff][b]極大値[local or relative maximum][/b][/color]という。[br][br][b][size=150]＜どちらに凸か？＞[br][/size][/b]２次の導関数f''(x)>0の区間では、y=f(x)のグラフは下に凸になる。傾きが増加傾向ということ。[br]２次の導関数f''(x)<0の区間では、y=f(x)のグラフは上に凸になる。傾きが下降傾向ということ。[br]２次の導関数f''(x)＝0のy=f(x)のグラフは変曲点といい、符号が変化する。[br][b][size=150][br]＜N次関数の極大・極小＞[/size][/b][br]２次関数は頂点で最大か最小になった。[br]・[b][color=#0000ff]３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)=a(x-p)(x-q)（pが小、qが大）のとき、[/color][/b][br]aが正なら、p,qを境に、[u]＋、ー、＋[/u]となる。[br]ということはｘ＝pで極大、x=qで極小となる。[br]aが負なら、p,qを境に、[u]ー、＋、ー[/u]となる。[br]ということはｘ＝pで極小、x=qで極大となる。[br][color=#0000ff][b]・３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)=a(x-p)[sup]2[/sup]ゼロ以上のとき、[br][/b][/color]x=pで０で、pを境に[u]＋、＋[/u]が続くので、極大でも極小でもない。[br]この点を境に上に凸と下に凸が入れ替わる。変曲点[color=#0000ff][[/color][color=#0000ff]inflection point][/color]という。[br]この点で交差接線がひける。[br]もう１回微分すると、f''(x)=2a(x-p)となるので、x=0となる。x=pの前後で符号が変わる。[br][color=#0000ff][b]・３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)が２つの虚数解をもつときはすべて正かすべて負。[br][/b][/color]f(x)は単調増加か単調減少。[br]（例）f(x)=ｘ[sup]3[/sup]+ax[sup]2[/sup]+bx+15＝０がx=3で極小値-12をもつようなa,bの値と極大値は？[br]　f'(x)=3x[sup]2[/sup]+2ax+b=0で、f'(3)=27+6a+b=0、f(3)=27+9a+3b+15=0。これらから、a=-3.b=-9。[br]　f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0。x=-1。極大値f(-1)=-1-3+9+15=20。[br][br][color=#0000ff][b]・分数次関数[/b][/color]でもｎ乗微分ルールを使ってみよう。[br]f(x)=2x-3x[sup]2/3[/sup]+4, f'(x)=2 -2x[sup]-1/3[/sup]=[math]2-2\frac{1}{\sqrt[3]{x}}[/math] となり、x=0で未定義[[color=#0000ff]undefined[/color]]となるが、[br]０を境に（＋、ー）と入れ替わる。[br]傾きはｘが負なら２より大で正、傾きはｘが正なら１までは負でｘ＝１で０になるがｘが１より大で正になる。[br]さらに微分すると、f''(x)=2/3x[sup]-4/3[/sup]=[math]\frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}[/math] [br]f''(1)=2/3>0だから、x=１から増加に転じる。[br]全体の形は、ｆ（ｘ）はｘが負で増加するが、ｘ＝０を境に減少しｘ＝１が極小値となる。[br][br]・[color=#0000ff][b]高次関数[/b][/color]でもｎ乗微分ルールを使ってみよう。[br]f(x)=3x[sup]5[/sup]- 20x[sup]3[/sup][br]f(-x)=-3x[sup]5[/sup]+20x[sup]3[/sup]=-f(-x)から、原点対称になる。[br]f'(x)=15x[sup]4[/sup]-60x[sup]2[/sup]=15x[sup]2[/sup](x[sup]2[/sup]-4)=0の解はx=0,2,-2。[br]f(-3)>0,f(-1)<0,f(1)=f(-1)<0,f(3)=f(-3)>0から、極値はf(2)=-64,f(-2)=64。[br]f''(x)=60x[sup]3[/sup]-120x=60x(x[sup]2[/sup]-2)=0の解はx=0,√2,-√2。（０，０）は変曲点。

[b][size=150]＜極限値＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b][size=150]x→0のときのsinx/xの極限値=1[br][/size][/b][/color]（理由）[br]角Aがx（ラジアン）で、AB=AC＝１の二等辺三角形ABCをかくと弧BC=ｘとなる。[br]ｘ＞０のとき、[br]角Aが共通でBが直角の直角三角形ABDをかく。[br]△ABCの面積<扇形の面積<△ABDの面積となるので、1/2・1・1sinx<1/2・1・x<1/2・1・tanx[br]式変形にようって、sinx/xは、cosxと１に挟まれる。そしてx→0のときのcosxの極限値＝1。[br]だから、挟み撃ちでx→0のときのsinx/xの極限値=1[br]ｘ＜０のときは、t=-xなどとおいて、式変形で証明できる。[br][size=150][color=#0000ff][b][size=150]x→0のとき、ln(1+x)/xの極限値＝1[br][/size][/b][/color][size=100]（理由）eの定義から、x→0のとき(1+x)[sup]1/x[/sup]の極限=e[br]辺々自然対数ln(=log[sub]e[/sub])をとると、ln(e)=1で、limはlnの外に出せるので、[br]x→0のとき、(1+x)[sup]1/x[/sup]の極限値のln＝ln(1+x)1/xの極限値=ln(1+x)/xの極限値=1[br][/size][size=150][color=#0000ff][b]x→0のとき、(e[sup]x[/sup]-1)/xの極限値＝1[/b][br][/color][/size][size=100]（理由)　上記の「x→0のときln(1+x)/x＝１」を[br]この式の1+x=e[sup]t[/sup]とおくと、t=ln(1+x)=ln(e[sup]t[/sup])で、x=e[sup]t[/sup]-1となり、x→0なら、t→0。[br]ln(1+x)/x=ln(e[sup]t[/sup])/(e[sup]t[/sup]-1)=t/(e[sup]t[/sup]-1)の極限値＝１。逆数にして(e[sup]t[/sup]-1)/tの極限値＝１[br][/size][b][br]＜三角関数＞[/b][/size][br][color=#0000ff][b][size=150](sinx)'=cosx[/size][/b][/color][br](理由）sinAB和-sinAB差＝2sin大Acos小Bの和差算(sin和の展開の前半がかぶる)で、[br]差の商のh倍＝sin(x+h)-sinx=2sin((x+h)+x)/2)cos((x+h)-x)/2) [br]=[math]2cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)=cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)[/math][br]導関数＝[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)\frac{sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=cosx\cdot1=cosx[/math][br][color=#0000ff][b][size=150](cosx)'=-sinx[/size][/b][/color][br](理由）cosAB和-cosAB差＝-2sin大Asin小Bの和差算(cos和の展開の後半がかぶる）で、[br]差の商のh倍＝cos(x+h)-cosx=-2sin((x+h)+x)/2)sin((x+h)-x)/2)[br]=[math]-2sin\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)=-sin\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)[/math][br]導関数＝[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}-sin\left(\frac{2x+h}{2}\right)\frac{sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=-sinx\cdot1=-sinx[/math][br][color=#0000ff][b][size=150](tanx)′=1/cos[sup]2[/sup]x[br][/size][/b][/color]（理由）商の微分公式(f/g)'=(f'g-fg')/g[sup]2[br][/sup] 　(sinx/cosx)'=(sinx'cosx-sinxcosx')/cosx[sup]2[/sup]=(cos[sup]2[/sup]x+sin[sup]2[/sup]x)/cos[sup]2[/sup]xから。[br]＜指数対数関数＞[br][color=#0000ff][b][size=150](e[sup]x[/sup])′=e[sup]x[/sup][br][/size][/b][/color]（理由）[br]差の商のh倍=e[sup](x+h)[/sup]-e[sup]x[/sup]=e[sup]x[/sup](e[sup]h[/sup]-1)[br]導関数＝[math]^{lim}_{x\longrightarrow0}e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)=\left(e^x\right)^{lim}_{x\longrightarrow0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)=e^x\cdot1=e^x[/math][br][color=#0000ff][b][size=150](lnx)′=1/x[br][/size][/b][/color]t=h/xとおくと、h=xt[br]差の商のh倍=ln(x+h)-ln(x)=ln(1+h/x)[br]導関数=[math]^{lim}_{x→0}(\frac{1}{xt})ln(1+t)=^{lim}_{x\longrightarrow0}\left(\frac{1}{x}\right)ln\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=\frac{1}{x}\cdot ln\left(^{lim}_{x\longrightarrow0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right)=\frac{1}{x}\cdot ln\left(e\right)=\frac{1}{x}\cdot1=\frac{1}{x}[/math][br][b][size=150][color=#0000ff](log[sub]a[/sub]x)′=1/(x lna)[/color][br][/size][/b]1/lnaは定数だから、[br](log[sub]a[/sub]x)'=(lnx/lna)'=1/lna・(lnx)'=1/lna・1/x=1/(x lna)[br]