[size=85][size=85][size=50][size=50][i][b][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [/right][/size][/b][/i][/size][/size][/size][br]4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] können stets durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]auf 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] in "[i][b]Normallage[/b][/i]" [math]f,-f,\frac{1}{f},\frac{-1}{f}\mbox{ mit }f\in\mathbb{C}[/math] abgebildet werden.[br][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]elliptischen Differential-Gleichung[/b][/i][/color] [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g+f\right)\cdot\left(g-\frac{1}{f}\right)\cdot\left(g+\frac{1}{f}\right)=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math] [br]sind für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der sich schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus [b]2 [/b]der [br]möglichen [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color], die man mit den 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] bilden kann.[br][br][color=#cc0000][i][b]Besondere Lagen: [/b][/i][/color][br][/size][size=85][list][*]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] sind [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] - sie liegen auf einem [i][color=#ff0000][b]Kreis[/b][/color][/i]: [br]Das [color=#ff7700][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] ist reell, [br]die [i][b]absolute Invariant[/b][/i]e ist reell und nicht negativ. [br]Für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] sind konfokale 2-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] Lösungskurven.[br][/*][*]2 der [color=#00ff00][i][b]Punktepaare[/b][/i][/color] liegen [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]: [br]Das Doppelverhältnis ist bei geeigneter Reihenfolge vom Betrag 1, [br]die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] ist reell und nicht positiv.[br][/*][/list][color=#cc0000][i][b]Sonderfälle:[/b][/i][/color][br][/size][size=85][list][*][color=#0000ff][i][b]Harmonische Lage[/b][/i][/color]: die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] [br]und liegen [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 [i][b][color=#0000ff]orthogonalen [/color][color=#ff0000]Kreisen[/color][/b][/i]. [br]Bei geeigneter Reihenfolge ist das [color=#ff7700][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] [b]-1[/b] [br]und die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] ist [b]0[/b]. [br]Z.B.: [color=#00ff00][b]f[/b][i][b] [/b][/i][/color]liegt auf [math]H_1[/math] oder [color=#00ff00][b]f[/b][/color] liegt auf [math]H_2[/math]. [br]Es gibt [b]2[/b]-teilige und [b]1[/b]-teilige geschlossene [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] als [i][b]Lösungeskurven[/b][/i]. [br]Sie schneiden sich unter Vielfachen von 45°.[br][/*][*][color=#0000ff][i][b]Tetraeder-Lage[/b][/i][/color]: die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] ist [b]-1[/b]. Die [size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Ecken eines[/size] [color=#274E13][i][b]regulären Tetraeders[/b][/i][/color]. [br]Geschlossene Lösungskurven sind [b]1[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], die sich unter Vielfachen von 30° schneiden. [br]Z.B.: [color=#00ff00][b]f[/b][/color] liegt auf [math]T[/math].[br][/*][/list][/size]