Imagine o seguinte problema: Com 80 metros de cerca, um fazendeiro deseja circundar uma região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da região retangular junto à margem do rio não é cercado. Quais devem ser as medidas, em metros, da região para que a área cercada seja a maior[br]possível? A figura abaixo ilustra a situação.

A ideia é expressar a área [math]A[/math] da região retangular em termos da altura [math]x[/math]. Temos que [br][center][math]A(x)=(80-2x)x=-2x^2+80x.[/math][/center][br]Note que o valor de [math]x[/math] está restrito ao intervalo [math][0,40][/math], pois só há 80 metros de cerca. Como descobrir o valor de [math]x[/math] que maximiza a área [math]A[/math]? [br][br]Como a função [math]A(x)[/math] é quadrática em [math]x[/math], podemos resolver esse problema usando a técnica de "completar quadrado": [br][center][math][br]\begin{align}[br]A(x)&=-2x^2+80x=-2(x^2-40x)\\[br] & =-2((x-20)^2-400)=800-2(x-20)^2\\[br]\end{align}[br][/math][/center][br]Vemos que nessa nova forma, a função [math]A(x)[/math] está reescrita como "800 menos alguma coisa maior ou igual a zero", que é o termo [math]2(x-20)^2[/math]. O menor valor que ele pode assumir é zero, exatamente quando [math]x=20[/math]. Portanto o maior valor possível para a área é [math]800m^2[/math], quando o retângulo tem uma base de 40 metros e uma altura de 20 metros. O gráfico abaixo nos ajuda a entender a dependência entre a área e a altura. Note que a escala nos eixos é diferente para melhorar a visualização.

Qual o menor valor que a função [math]f(x)=x^2-6x-12[/math] pode assumir?[b][br][br]Problema:[/b] A altura de um foguete acima do solo é dada pela função [math]h(t)=-5t^2+100t[/math] para [math]t\in[0,20][/math]. Qual a altura máxima que ele atinge? Em que instante?