Ein Kreis ist durch den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis bestimmt ([i]euklidisch[/i]).[br][br]Ein Kreis besteht aus allen Punkten [math]z\in\mathbb{C}[/math], die von einem vorgegebenen Punkt [math]m\in\mathbb{C}[/math] denselben [i][b]Abstand[/b][/i] [math]\rho[/math] besitzen.[br][list][*][math]\left|z-m\right|^2-\rho^2=z\,\overline{z}-2\, z\,\overline{m}-2\, \overline{z}\, m+m\, \overline{m}-\rho^2=0[/math] ([i]euklidisch[/i])[/*][/list]Durch Gleichungen des Typs [math]\alpha\cdot z\overline{z}-z\cdot\overline{c}-\overline{z}\cdot c+\beta=0,\mbox{ }\alpha,\beta\in\mathbb{R},c\in\mathbb{C}[/math] werden auch [i][b]Geraden [/b][/i]([math]\alpha=0[/math]) erfasst; für [math]\alpha\ne0[/math] gibt es mit [math]m=\frac{c}{2\alpha},\;\rho^2=\frac{\beta}{\alpha}-m\,\overline{m}[/math] auch Punkte und nicht-reelle Kreise ([math]\varrho^2\le0[/math]) als Lösungen.[br][br]Der Ort, in welchem sich die Geraden durch 2 Punkte [math]p_1,p_2[/math] unter einem vorgegebenen Winkel [math]\varphi\mbox{ modulo }\pi[/math] schneiden, ist ein Kreis, genannt "[i]Fasskreis[/i]" oder besser "[i]Fasskreisbogen[/i]": [i][b]Umfangswinkelsatz[/b][/i] ([i]äquiform-geometrisch[/i]). [br][list][*] [math]\frac{z-p_1}{\overline{z-p_1}}\cdot\frac{\overline{z-p_2}}{z-p_2}=e^{2i\cdot\varphi}[/math], das ergibt : [math]e^{-i\cdot\varphi}\cdot \left(z-p_1\right)\cdot\left(\overline{z-p_2}\right)-e^{i\cdot\varphi}\cdot \left(\overline{z-p_1}\right)\cdot \left(z-p_2\right)=0[/math] [br]Eigentlich erhält man zwei Fasskreisbögen! ([i]möbiusgeometrisch[/i]).[/*][/list]Hierzu gehört eine Gleichung des obigen Typs:[br] [math]\alpha\cdot z\,\overline{z}-z\cdot\overline{c}-\overline{z}\cdot c+\beta=0[/math] mit [math]\alpha=\mathbf{sin}\left(\varphi\right)[/math], [math]c=\frac{i}{2}\cdot\left(e^{-i\varphi}p_1+e^{i\varphi}p_2\right)[/math] und [math]\beta=\mathbf{Im}\left(e^{-i\varphi}\cdot p_1\,\overline{p_2}\right)[/math]. [br][br]Vier Punkte [math]p_1,\,p_2,\,p_3,\,z[/math] liegen genau dann auf einem Kreis , wenn ihr Doppelverhältnis [math]\mbox{ }d=\mathbf{Dv}\left(p_1,p_2,p_3,z\right)=\frac{p_1-p_3}{p_2-p_3}\cdot\frac{p_2-z}{p_1-z}[/math] reell ist.[br][list][*][math]Dv\left(p_1,p_2,p_3,z\right)-\overline{Dv\left(p_1,p_2,p_3,z\right)}=-\frac{i}{2}\left(\frac{p_1-p_3}{p_2-p_3}\cdot\frac{p_2-z}{p_3-z}-\frac{\overline{p_1-p_3}}{\overline{p_2-p_3}}\cdot\frac{\overline{p_2-z}}{\overline{p_3-z}}\right)=0[/math]. [br][/*][/list][br]Daraus kann man mit den 3 Punkten [math]p_1,p_2,p_3[/math] den Peripheriewinkel [math]\varphi[/math] bestimmen:[br][list][*] [math]\underbrace{\frac{p_1-p_3}{\,\overline{p_1-p_3}\,}\cdot\frac{\,\overline{p_2-p_3}\,}{p_2-p_3}}_{\Large{=e^{2i\varphi}} }=\frac{p_1-z}{\,\overline{p_1-z}\,}\cdot\frac{\,\overline{p_2-z}\,}{{p_2-z}}=0[/math][br][/*][/list]und aus der folgenden Gleichung bestimmt man den Mittelpunkt und den Radius:[br][list][*][math]-\frac{i}{2}\left(a\cdot\left(p_2-z\right)\cdot\left(\overline{p_1-z}\right)-\overline{a}\cdot\left(\overline{p_2-z}\right)\cdot\left(p_1-z\right)\right)=0[/math] mit [math]a=\left(p_1-p_3\right)\cdot\left(\overline{p_2-p_3}\right)[/math][br][math]\alpha\cdot z\,\overline{z}-c\cdot\overline{z}-\overline{c}\cdot z+\beta=0[/math] mit [math]\alpha=\mathbf{Im}\left(a\right),\;\beta=-\frac{i}{2}\cdot\left(a\,p_2\,\overline{p_1}-\overline{a}\,\overline{p_2}\,p_1\right)[/math] und [math]c=\frac{i}{2}\left(\overline{a}\,p_1-a\,p_2\right)[/math].[/*][/list]

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