Triangle center X(34) is the X(4) beth-conjugate of X(4).[br]X(4) (O in the applet ) is the triangle center where the altitudes cross.[br]A beth- conjugate is defined as follows:[br]Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC. [br]The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]where[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.[br]X(110) is the focus of the [url=http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html]Kiepert parabola[/url].[br]Now, where X(34) already is a beth conjugate, triangle center X(47) is the X(110)-beth conjugate of X(34).[br]The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle as well as on the angles.

Driehoekscentrum X(34) is de X(4) beth toegevoegde van X(4).[br]X(4) (O in het applet) is het driehoekscentrum waar de hoogtelijnen elkaar snijden.[br]Een beth- toegevoegde wordt gedefinieerd al volgt:[br]P = p : q : r en U = u : v : w zijn punten die niet op een zijde van de driehoek liggen.[br]De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]met[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c[br]X(110) is het brandpunt van de [url=http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html]Kiepert parabool[/url]. [br]Deze parabool heeft als richtlijn de Eulerlijn (rechte door het snijpunt van de hoogtelijnen, het zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel.[br]De barycentrische coördinaten van X(47) worden zowel bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek als door de hoeken.