Nell'ultima parte dell'animazione abbiamo visto che DI TUTTE LE RETTE PARALLELE alla retta
, quella TANGENTE alla parabola dell'esercizio ha
, e quindi la retta cercata è
.
Terminiamo l'esercizio trovando il punto di tangenza in cui parabola e retta si trovano. Il metodo più naturale per farlo è mettere a sistema la retta appena trovata e la parabola
Fai i conti e trova le coordinate e del punto in comune, come mostrato nella prima parte della presentazione.
UN'ALTERNATIVA RAPIDA (DA CAPIRE BENE)
C'è un metodo più rapido. Mentre hai fatto i conti forse hai notato che hai ripetuto
esattamente molti dei passaggi descritti nella presentazione, semplicemente dove nella presentazione c'era scritto
tu avevi il valore "giusto"
2. Ma i conti erano
gli stessi.
Possiamo quindi sfruttare i conti già fatti, arrivare alla fine e copiare l'equazione associata, quella che ci permette di trovare i valori dei punti in comune, sostituendovi 2 al posto di :
Se controlli ora i conti che hai fatto sul quaderno, vedrai che è la stessa equazione che hai trovato tu... facendo ben più passaggi. Il risultato è ovviamente lo stesso:
, che sostituito nella retta ci da anche l'altra coordinata,
.
Quindi se abbiamo già costruito ed elaborato il sistema per trovare la condizione di tangenza, possiamo sfruttare il lavoro fatto anche per ottenere le coordinate del punto.
CONFRONTIAMO I RISULTATI NEL CASO DI TANGENZA, SECANZA ED ESTERNALITÀ
Se osservi con attenzione i risultati ottenuti nell'ultima parte dell'animazione qui sopra, noterai che il risultato ottenuto per la condizione di tangenza (cioè q=2) è direttamente collegato alle rette secanti, che in questo caso hanno q>2, e quelle esterne, cioè q<2
(NOTA: questi risultati nell'animazione non sono ottenuti da calcoli, ma puoi verificarli cambiando con l'interruttore il valore di q e muovendo la retta).
Questo perché le tre condizioni sono sempre legate al DELTA dell'equazione associata al sistema, semplicemente di volta in volta poniamo questo stesso DELTA
- maggiore di zero se vogliamo due soluzioni, quindi la secanza
- uguale a zero per avere una sola soluzione in comune, quindi tangenza
- minore di zero se vogliamo che retta e parabola NON si incontrino, cioè esternalità
Di conseguenza il sistema e l'equazione associata, e quindi il DELTA di quest'ultima ed i valori che ne risultano,
rimangono sempre gli stessi; quello che cambia è solo la condizione che imponiamo al DELTA, cioè la relazione imposta rispetto a quei valori (uguale, maggiore o minore).
ATTENZIONE! Questo
NON vuol dire che se la retta tangente ha ad esempio q=5, allora le rette secanti, dato che devono avere due punti in comune e quindi hanno bisogno che il DELTA sia maggiore di zero, hanno AUTOMATICAMENTE q>5. È necessario ripartire dall'espressione del DELTA, eventualmente già calcolata, e porla maggiore di zero,
ponendo attenzione al verso della disequazione nei vari passaggi.
Potrebbe capitare infatti che esso cambi a causa dell'applicazione del secondo principio di equivalenza.
Si nota in modo piuttosto chiaro questo aspetto nell'animazione qui sotto, in cui consideriamo un caso leggermente diverso: cerchiamo le rette secanti tra quelle che passano per un certo punto predefinito.