In questo capitolo studiamo la posizione reciproca tra una parabola ed una retta. Disegnando alcuni esempi ti puoi rendere conto che una retta può incontrare una retta:[br][list][*][b]in due punti[/b] (in questo caso si parla di retta [b]secante[/b], ovvero che taglia la parabola)[br][/*][*][b]in un solo punto[/b] (retta [b]tangente[/b], ovvero che tocca la parabola)[/*][*][b]in nessun punto[/b] (retta [b]esterna[/b] alla parabola, cioè che non la incontra)[/*][/list][br]Nella prossima animazione vedremo che queste tre possibilità si ottengono mettendo a sistema l'equazione di retta e parabola, ovvero cercando le coordinate che soddisfano entrambe. [b]Dal sistema risulta un'equazione di secondo grado[/b], che quindi può avere appunto 2, 1 o 0 soluzioni, a seconda del segno del suo discriminante.

Nell'ultima parte dell'animazione abbiamo visto che DI TUTTE LE RETTE PARALLELE alla retta [math]\large{y=-\frac{1}{2}x+4}[/math], quella TANGENTE alla parabola dell'esercizio ha [math]\large{q=2}[/math], e quindi la retta cercata è [math]\large{y=-\frac{1}{2}x\textcolor{red}{+2}}[/math].[br][br]Terminiamo l'esercizio trovando il punto di tangenza in cui parabola e retta si trovano. Il metodo più naturale per farlo è mettere a sistema la retta appena trovata e la parabola[br][br][math]\large{\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2\\y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}\end{cases}}[/math][br][br][color=#ff0000][b]Fai i conti e trova le coordinate [math]\large{x}[/math] e [math]\large{y}[/math] del punto in comune, come mostrato nella prima parte della presentazione[/b][/color].[br][br][size=100][size=150][color=#ff0000]UN'ALTERNATIVA RAPIDA (DA CAPIRE BENE)[/color][/size][/size][br]C'è un metodo più rapido. Mentre hai fatto i conti forse hai notato che hai ripetuto [u]esattamente[/u] molti dei passaggi descritti nella presentazione, semplicemente dove nella presentazione c'era scritto [math]\large{q}[/math] tu avevi il valore "giusto" [color=#ff0000]2[/color]. Ma i conti erano [u]gli stessi[/u].[br][br][b][color=#ff0000]Possiamo quindi sfruttare i conti già fatti, arrivare alla fine e copiare l'equazione associata, quella che ci permette di trovare i valori [math]\large{x}[/math] dei punti in comune, sostituendovi 2 al posto di [math]\large{q}[/math] :[/color][/b] [br][br][math]\large{x^2-x+\frac{9}{4}-q =0\quad \rightarrow \quad x^2-x+\frac{9}{4}-\textcolor{red}{2}=0\quad \rightarrow \quad x^2-x+\frac{1}{4}=0}[/math][br][br]Se controlli ora i conti che hai fatto sul quaderno, vedrai che è la stessa equazione che hai trovato tu... facendo ben più passaggi. Il risultato è ovviamente lo stesso: [math]\large{x=\frac{1}{2}}[/math], che sostituito nella retta ci da anche l'altra coordinata, [math]\large{y=\frac{7}{4}}[/math].[br][br][color=#ff0000][b]Quindi se abbiamo già costruito ed elaborato il sistema per trovare la condizione di tangenza, possiamo sfruttare il lavoro fatto anche per ottenere le coordinate del punto.[/b][/color][br][br][size=150][color=#ff0000]CONFRONTIAMO I RISULTATI NEL CASO DI TANGENZA, SECANZA ED ESTERNALITÀ[/color][/size][br]Se osservi con attenzione i risultati ottenuti nell'ultima parte dell'animazione qui sopra, noterai che il risultato ottenuto per la condizione di tangenza (cioè q=2) è direttamente collegato alle rette secanti, che in questo caso hanno q>2, e quelle esterne, cioè q<2 [color=#0000ff](NOTA: questi risultati nell'animazione non sono ottenuti da calcoli, ma puoi verificarli cambiando con l'interruttore il valore di q e muovendo la retta)[/color].[br][br]Questo perché le tre condizioni sono sempre legate al DELTA dell'equazione associata al sistema, semplicemente di volta in volta poniamo questo stesso DELTA [br][list][*]maggiore di zero se vogliamo due soluzioni, quindi la secanza[/*][*]uguale a zero per avere una sola soluzione in comune, quindi tangenza[/*][*]minore di zero se vogliamo che retta e parabola NON si incontrino, cioè esternalità[br][/*][/list][br][b][color=#ff0000]Di conseguenza il sistema e l'equazione associata, e quindi il DELTA[/color][/b] di quest'ultima ed i valori che ne risultano, [b][color=#ff0000]rimangono sempre gli stessi; quello che cambia è solo la condizione che imponiamo al DELTA[/color][/b], cioè la relazione imposta rispetto a quei valori (uguale, maggiore o minore).[br] [br][b][color=#ff0000]ATTENZIONE![/color][/b] Questo [b][color=#ff0000]NON[/color][/b] vuol dire che se la retta tangente ha ad esempio q=5, allora le rette secanti, dato che devono avere due punti in comune e quindi hanno bisogno che il DELTA sia maggiore di zero, hanno AUTOMATICAMENTE q>5. È necessario ripartire dall'espressione del DELTA, eventualmente già calcolata, e porla maggiore di zero, [color=#ff0000]ponendo attenzione al verso della disequazione nei vari passaggi[/color]. [i]Potrebbe capitare infatti che esso cambi a causa dell'applicazione del secondo principio di equivalenza[/i].[br][br]Si nota in modo piuttosto chiaro questo aspetto nell'animazione qui sotto, in cui consideriamo un caso leggermente diverso: cerchiamo le rette secanti tra quelle che passano per un certo punto predefinito.

Terminiamo ora l'esercizio dell'animazione. [br]Abbiamo trovato che le rette che passano per il punto [math]\large{A}[/math] hanno tutte la forma [math]\large{y=mx+6-\frac{3}{2}m}[/math] - scegliendo un valore per [math]\large{m}[/math] trovo una delle rette. Imponendo la condizione [math]\large{\Delta >0}[/math] (secante - DUE punti in comune) ho trovato che deve essere [math]\large{m<-4 \lor m>2}[/math]. Il risultato finale è quindi che le rette passanti per [math]\large{A}[/math] hanno la forma [br][br][math]\large{y=mx+6-\frac{3}{2}m}[/math] con [math]\large{m<-4 \lor m>2}[/math][br][br]In questo caso questo è l'unico modo per descrivere TUTTE le rette richieste: non possiamo elencarle una ad una, sono infinite! allo stesso modo non possiamo trovare i punti di contatto, perché ognuna avrà i suoi due (potremmo fare i calcoli per una retta di esempio, ad esempio per [math]\large{m=1}[/math], che è uno dei valori che vanno bene).[br][br]Proviamo a trovare le rette che passano sempre per [math]\large{A}[/math], ma che sono TANGENTI alla parabola. Dobbiamo mettere a sistema le rette, che sono sempre quelle, con la parabola[br][br][math]\large{\begin{cases}y=mx+6-\frac{3}{2}m\\y=-x^2+2x+3\end{cases}\quad \rightarrow\quad mx+6-\frac{3}{2}m=-x^2+2x+3 \rightarrow \cdots}[/math][br][br]mi rendo conto che sto ripetendo gli stessi identici passaggi di prima! I calcoli saranno gli stessi, fino a quando arrivo alla [color=#ff0000][b]equazione associata[/b][/color]:[br][br][math]\large{\rightarrow \textcolor{150, 0,0}1x^2 + \textcolor{0, 150,0}{(m-2)}x+\textcolor{0, 0,150}{3-\frac{3}{2}m}=0}[/math][br][br]È a questo punto che il procedimento cambia! Non devo più imporre che [math]\large{\Delta>0}[/math] (due punti-soluzione, secanza) ma che [math]\large{\Delta=0}[/math] (un solo punto-soluzione in comune: tangenza): [br][br][math]\large{(m-2)^2-4\left (3-\frac{3}{2}m \right )=0}[/math][br][br]risolvendo trovo i due valori [math]\large{m_1=-4}[/math] e [math]\large{m_2=2}[/math].[br][br][color=#0000ff][b]NOTA[/b]: sono gli stessi risultati di prima! infatti per applicare il metodo della parabola ho dovuto risolvere l'equazione associata alla disequazione![/color][br][br]In questo caso ci sono solo due valori "giusti", quindi possiamo sostituirli per trovare le rette corrispondenti ed anche i relativi punti di tangenza. [br][br][b]Per trovare le due rette[/b] sostituisco ora uno alla volta i valori trovati nella retta generica:[br][math]\large{r_1 \textcolor{red}{(m_1=-4)} :\ y=(\textcolor{red}{-4})\cdot x +6-\frac{3}{2}\cdot (\textcolor{red}{-4}) \rightarrow \textcolor{red}{r_1:\ y=-4x+12}}[/math][br][math]\large{r_2 \textcolor{blue}{(m_1=2)} :\ y=(\textcolor{blue}{2})\cdot x +6-\frac{3}{2}\cdot (\textcolor{blue}{2}) \rightarrow \textcolor{blue}{r_2:\ y=2x+3}}[/math][br][br]Per trovare i due punti di tangenza in cui le due rette toccano la parabola, devo prenderle una alla volta e metterle a sistema con la parabola. Fallo sul tuo quaderno poi continua a leggere. [br][br][b]Oppure posso accorgermi che ancora una volta i conti del sistema sono sempre gli stessi[/b] - semplicemente una volta al posto di [math]\large{m}[/math] ci sarà [math]\large{-4}[/math], e la seconda volta ci sarà [math]\large{2}[/math]. Allora posso ripartire direttamente dall'equazione associata, in cui la prima volta sostituisco [math]\large{-4}[/math], e la seconda volta sostituirò [math]\large{2}[/math].[br][br]Vediamo il primo caso con [math]\large{m=-4}[/math][br][br][math]\large{\rightarrow \textcolor{150, 0,0}1x^2 + \textcolor{0, 150,0}{(\textcolor{red}{-4}-2)}x+\textcolor{0, 0,150}{3-\frac{3}{2}\cdot (\textcolor{red}{-4})}=0 \quad \rightarrow \quad x^2-6x+9=0}[/math][br][br]Questa equazione ha una sola soluzione (doppia), cioè [math]\large{x=3}[/math]. Puoi controllare sul tuo quaderno che facendo tutto il procedimento avevi trovato esattamente gli stessi risultati. Per trovare la [math]\large{y}[/math] del punto di tangenza andiamo a sostituire nella retta [math]\large{r_1}[/math]:[br][br][math]\large{y=-4\cdot \textcolor{red}{(-3)}+12 \rightarrow y=24}[/math][br][br]Il punto in cui la retta [math]\large{r_1}[/math] incontra la parabola ha coordinate [math]\large{P_1(3,24)}[/math]. Allo stesso modo si trova il punto di tangenza della retta [math]\large{r_2}[/math].

[b][color=#ff0000][size=150]FACCIAMO IL PUNTO[/size][/color][/b][br][br]Dalle due animazioni dovrebbero essere chiare le operazioni da seguire. Proviamo a riassumerle nel seguente grafico (puoi scaricarlo a questo indirizzo: [url=https://drive.google.com/file/d/1FHkbLEpyq9YqSQ2ptI7J65Xk_TWMvW6s/view?usp=sharing]https://drive.google.com/file/d/1FHkbLEpyq9YqSQ2ptI7J65Xk_TWMvW6s/view?usp=sharing[/url])

[color=#0000ff]UN ALTRO MODO PER TROVARE LE RETTE PASSANTE PER UN PUNTO DATO[/color][br][br]Aggiungiamo qui un modo alternativo per determinare le rette passanti per un certo punto [math]\textcolor{red}{A\left(x_A,y_A\right)}[/math]. [color=#0000ff]Non è essenziale saperlo, ma UNA VOLTA CHE L'ABBIAMO CAPITO può renderci più veloci i conti.[/color] [br][br]Consideriamo l'equazione[br][br][math]y-\textcolor{red}{y_A}=\textcolor{blue}{m}\left(x-\textcolor{red}{x_A}\right)[/math][br][br]dove [math]\textcolor{red}{x_A}[/math] e [math]\textcolor{red}{y_A}[/math] sono le coordinate dei punti per cui deve passare la retta. [math]\textcolor{blue}{m}[/math] è il coefficiente angolare e dandogli un valore qualsiasi otterremo una rette che passano per A.[br][br][b]Notiamo infatti che qualsiasi sia il valore di [math]\textcolor{blue}{m}[/math], l'equazione è soddisfatta dal punto A, e quindi la retta ci passa.[/b] Infatti sostituendo le coordinate del punto al posto di [math]x[/math] ed [math]y[/math] otteniamo[br][br][math]\bold{y_A}-\textcolor{red}{y_A}=\textcolor{blue}{m}\left(\bold{x_A}-\textcolor{red}{x_A}\right)\quad \rightarrow \quad 0=m\cdot 0[/math][br][br]cioè l'equazione è soddisfatta da qualsiasi m.[br][br]Puoi vedere la cosa anche con un esempio concreto. Ad esempio consideriamo un punto qualsiasi [math]A\left(2,5\right)[/math]: applicando questa idea otteniamo le rette[br][br][math]y-5=m\left(x-2\right)[/math][br][br]Puoi vedere facilmente che sostituendo le coordinate di A l'equazione è soddisfatta per qualsiasi m. Quindi tutte le rette fatte così, qualsiasi sia il valore di m, passano per il punto A. Sviluppando i calcoli otteniamo[br][br][math]y=mx-2m+5[/math][br][br]Abbiamo ottenuto la conferma che m è il coefficiente angolare di queste rette, infatti è il valore per cui è moltiplicata la x nella forma esplicita, come da definizione.[br][br]Trovi altre spiegazioni e chiarimenti a proposito di questa formula nella seconda animazione ("ESEMPIO DI TRASLAZIONE: RETTE PER UN PUNTO") di questa pagina: [url=https://www.geogebra.org/m/bENRgkEw#material/HPG8sKca]https://www.geogebra.org/m/bENRgkEw#material/HPG8sKca[/url]