Transformacións xeométricas.

Chus, Jun 10, 2018

Cales son os polígonos ou combinacións de polígonos que poden cubrir o plano sen superposicións? Construcións destinadas aos alumnos de 3º de ESO, co obxectivo de estudar os polígonos e os movementos no plano.

Table of Contents

  1. Teselas e movementos.
    1. " Pajarita nazarí "
    2. " Pajarita nazarí "
    3. " Pajarita nazarí " : deformación.
    4. " Pajarita nazarí " : translación.
    5. " Hueso nazarí " : xiros.
    6. " Folla de arce" : simetrías.
  2. Teselacións regulares e semirregulares.
    1. Teselacións regulares e semirregulares.
    2. Teselación semirregular.
    3. Teselación regular: comando "secuencia".
    4. Teselación semirregular.
  3. Teselacións irregulares.
    1. Teselados non regulares.
    2. Tesela Cairo.
    3. Pentágono arquitectura.
    4. Hexágono irregular convexo : 2ª familia.
  4. Outras teselacións.
    1. Teselación animada " oso nazarí " .
    2. Teselación " folla de arce ".
    3. Teselación, animada, " paxariña" .

1.

Teselas e movementos.

Unha teselación ou teselado é un patrón repetitivo de figuras, xeométricas, de animais ou humanas, que cobren completamente unha superficie plana sen deixar espazos libres e sen superpoñerse. Os teselados créanse usando transformacións isométricas é dicir mediante movementos (translacións, xiros e reflexións) que deixan invariante a figura inicial (sen variar as dimensións nin a área) .Copias idénticas dunha ou diversas pezas ou teselas coas cales se compoñen figuras para recubrir totalmente unha superficie.

  • 1. " Pajarita nazarí "
  • 2. " Pajarita nazarí "
  • 3. " Pajarita nazarí " : deformación.
  • 4. " Pajarita nazarí " : translación.
  • 5. " Hueso nazarí " : xiros.
  • 6. " Folla de arce" : simetrías.

1.1.

" Pajarita nazarí "

[size=100][justify]Preme “reproducir” para ver unha construción da paxariña nazarí. [br][br]Unha vez finalizados os pasos non esquezas premer no botón RESET se queres volver a[br]reproducila.[/justify][/size]
– Chus

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Teselacións regulares e semirregulares.

Se queremos cubrir todo o plano sen solapamentos nin ocos, nun vértice calquera do teselado a suma dos ángulos interiores dos polígonos que teñen ese vértice en común debe ser de 360º.

  • 1. Teselacións regulares e semirregulares.
  • 2. Teselación semirregular.
  • 3. Teselación regular: comando "secuencia".
  • 4. Teselación semirregular.

2.1.

Teselacións regulares e semirregulares.

[justify][b]Teselados regulares:[/b] chámanse así os teselados que están formados por polígonos regulares (aqueles polígonos que teñen todos os ángulos e todos os lados iguais), para elo é necesario ca suma dos ángulos interiores dos polígonos que conflúen nun vértice sexa 360º. [br][br]Os únicos polígonos regulares que compren esta condición son o triángulo, o cadrado e o hexágono.  [br][br]Nun teselado regular triangular nun vértice hai 6 triángulos equiláteros, 360 º : 60 º = 6 ,  teselación 333333.[br][br]Nun teselado regular cadrado nun vértice hai 4 cadrados , 360 º : 90 º =4 ,  teselación 4444.[br][br]Nun teselado regular hexagonal nun vértice hai 3 hexágonos, 360 º : 120 º= 3, teselación 666.[br][/justify]
[justify][b]Teselados semirregulares:[/b] están formados por dous ou máis polígonos regulares, de tal xeito que en cada vértice teñen que confluír o mesmo número de polígonos e de idéntica maneira. Solo existen 8 tipos de teselados semirregulares.[br][br]As teselacións noméanse tendo en conta o número de lados dos polígonos que conflúen nun vértice. Comezamos no polígono de menor número de lados e a continuación os restantes en sentido antihorario.[br][br]Por exemplo na seguinte imaxe podes ver unha teselación na que en cada vértice conflúen un triángulo,un cadrado, un hexágono e un cadrado. Trátase, polo tanto, dunha teselación 3464.[/justify]
– Chus

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Teselacións irregulares.

Están formadas por polígonos non regulares

  • 1. Teselados non regulares.
  • 2. Tesela Cairo.
  • 3. Pentágono arquitectura.
  • 4. Hexágono irregular convexo : 2ª familia.

3.1.

Teselados non regulares.

[justify]Se consideramos teselacións unimodulares:[br][br]a)  Calquera triángulo tesela o plano, independentemente da medida dos seus lados e dos seus ángulos.[br][br]b) Calquera cuadrilátero convexo tesela o plano.[br][br]c)  O problema complícase no caso dos pentágonos. Considerando so pentágonos convexos, coñécense 15 familias de pentágonos que teselan o plano. [br][br]A teselación do plano por pentágonos convexos é un problema histórico que data de principios do século 20. Foi o matemático alemán Karl Reinhardt o que descubriu 5 clases de pentágonos que teselaban o plano no 1918. Durante moito tempo pensouse que non existía ningún máis. Co paso dos anos o número de pentágonos descubertos foi aumentando e no ano 1985 Rolf Stein atopou o décimo cuarto.[br][br]Tiveron que pasar trinta anos ata que no 2015 a equipa formada por Jennifer Mc Loud, Casey Mann e David von Derau, mediante un algoritmo computacional, atopou o pentágono décimo quinto.  [/justify]
[justify]Poderase engadir outro pentágono á lista? [br]A data de hoxe, a resposta é non. [br][br]No 2017 , Michaël Rao demostrou que os únicos pentágonos irregulares que teselan o plano son os 15 coñecidos. Co seu traballo pechou definitivamente o problema da teselación do plano por pentágonos irregulares convexos, o cal durou case un século.[br][br]a)     Existen tres familias de hexágonos irregulares convexos que teselan o plano.[br][br]b)    Ningún polígono convexo de 7 ou máis lados pode teselar o plano.[/justify]
– Chus

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Outras teselacións.

Ademais dos teselados formados por figuras xeométricas, tamén existen os que están formados por superficies curvas, formas de animais, vexetais, humanas ... Un dos artistas máis destacados utilizando esta técnica foi Maurits Cornelis Escher. Escher creou un mundo baseado en diferentes tipos de teselacións. Cubrindo o plano sen deixar ocos mediante o uso de patróns repetitivos, nos que as formas abstractas mudan a formas concretas e viceversa. É o gran mestre das figuras imposibles, dos mundos imaxinarios e das ilusiones ópticas. Representou tridimensionalmente espazos paradoxais desafiando os modos tradicionais de representación. Para coñecer máis sobre a súa vida é obra visita a páxina oficial [url]http://www.mcescher.com/[/url] Podes ver algunhas das simetrías de Escher animadas con Geogebra no magnífico libro, creado polo profesor Manuel Sada , [color=#1551b5]“Teselaciones de M.C. Escher”[/color] [url]https://ggbm.at/dAqNKuXH[/url].

  • 1. Teselación animada " oso nazarí " .
  • 2. Teselación " folla de arce ".
  • 3. Teselación, animada, " paxariña" .

4.1.

Teselación animada " oso nazarí " .

Teselación animada, a partires dun cadrado, por translación mediante secuencias.
– Chus

4.2.

–

4.3.

–

Information