Quan obriu GeoGebra us trobeu amb la finestra algebraica, on aniran sortint els objectes que creeu, i la finestra gràfica. Per obrir la finestra 3D cal anar al menú [color=#38761D][b]Visualització[/b][/color] i clicar a [color=#0000ff]Finestra Gràfica 3D[/color][color=#333333]. Veiem, pas a pas, com podem definir tots els elements característics de les funcions de dues variables. Veureu que és important que li posem un nom ([/color][color=#0000ff]etiqueta[/color][color=#333333]) als objectes que anem dibuixant per tal de no confondrel's. Recordeu que clicant en un objecte podeu accedir a la barra d'estils per modificar-ne la grandària i el color.[/color][list][*]Amb l'eina [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] dibuixem un punt a la Finestra gràfica que el programa anomenarà [b]A[/b]. Més endavant haurem d'introduir les seves coordenades amb la notació: [color=#38761D]x(A)[/color] i [color=#38761D]y(A)[color=rgb(51, 51, 51)]. Aquest punt també surt a la finestra 3D en el pla base xOy. El punt també es pot escriure directament a la [color=#0000ff][b][color=#38761D]línia d'Entrada[/color][/b][color=rgb(51, 51, 51)] amb les seves coordenades.[/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]La definició de la funció l'escrivim a la línia d'Entrada. Per exemple: [b]f=x[sup]3[/sup]-2x y[sup]2[/sup] [/b]. [u]Recordeu de deixar un espai en blanc si no poseu el signe del producte[/u]. GeoGebra reconeix l'expressió com a funció de dues variables i la dibuixa a la finestra 3D.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Per dibuixar la [color=#cc0000]imatge del punt A[/color] escrivim: [b]P=(x(A),y(A),f(A))[/b]. També podríem haver dibuixat directament un punt [i]a sobre de la funció[/i] amb l'eina [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon]. Aquest punt el podríem moure per la funció. En el nostre cas, per moure el punt P haurem de fer servir el punt A.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Calculem les [color=#cc0000]derivades parcials de primer i segon ordre de la funció[/color] escrivint a la línia d'Entrada els comandaments següents.[/color][/color][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fx=Derivada(f,x)[/color][/color][/b][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fy=Derivada(f,y)[/color][/color][/b][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fxx=Derivada(fx,x)[/color][/color][/b][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fxy=Derivada(fx,y)[/color][/color][/b][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fyx=Derivada(fy,x)[br][/color][/color][/b][/*][*][b][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]fyy=Derivada(fy,y)[/color][/color][/b][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]GeoGebra us dibuixarà aquestes funcions. Per ocultar-les cliqueu al punt blau que surt al costat de la funció [u]a la finestra algebraica[/u]. Això ho podeu fer amb qualsevol altre objecte que creeu però que no voleu que es vegi.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Podeu calcular el valor de cada una de les derivades en el punt A escrivint, per exemple, [b]fx(A)[/b].[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Clicant primer a la finestra 3D i dibuixant els plans [b]x=x(A)[/b] i [b]y=y(A)[/b] podem obtenir les [color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)][color=#cc0000]funcions amb valor constant de l'una de les variables[/color][/color][/color] com a intersecció dels dos plans amb la funció fent servir l'eina [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon]. Caldrà clicar a la funció i al pla i obtindrem les dues corbes.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Per a les [color=#cc0000]corbes de nivell[/color] el procediment és molt semblant. Primer creem un punt lliscant [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] (cal fer servir l'opció Nombre que surt a la finestra emergent quan cliquem a l'eina) i tot seguim escrivim [b]z=k[/b]. Tornem a fer servir l'eina de la intersecció i surten les corbes de nivell corresponents al valor k. Veureu que podeu dibuixar un punt a sobre d'aquestes corbes i treballar també amb les coordenades d'aquest punt.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Les [color=#cc0000]rectes tangents[/color] en el punt P a les dues funcions amb valor constant s'obtenen a partir de les derivades parcials de primer ordre. Les rectes passen pel punt P i tenen com a vectors directors [b]tx=(1,0,fx(A))[/b] i [b]ty=(0,1,fy(A))[/b] que definireu d'aquesta manera. Escriurem tot seguit a la Línia d'Entrada: [b]t1=Recta(P,tx)[/b] i [b]t2=Recta(P,ty)[/b]. Les expressions d'aquestes rectes us sortiran a la finestra algebraica.[/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]El vector [color=#cc0000]gradient[/color], que té dues components, s'obté molt fàcilment escrivint [b]grad=(fx(A),fy(A))[/b]. [br][/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Per al [color=#cc0000]pla tangent[/color] a la funció en el punt P escriviu: [b]Pla(P,t1,t2)[/b]. [br][/color][/color][/*][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]La [color=#980000][/color][/color][/color][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)][color=#980000][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)][color=#cc0000]derivada direccional[/color][/color][/color] [/color]es calcula escrivint a la Línia d'Entrada les components del vector que ens determina la direcció. Podem anomenar el vector [b]v [/b]i el vector unitari corresponent el calcularem amb el comandament [b]vn=Versor(v)[/b]. Només ens cal, tot seguit, calcula el producte escalar d'aquest vector amb el vector gradient amb l'expressió [b]ddir=grad vn[/b]. Observeu que no cal posar cap símbol entre els dos vectors per calcular el producte escalar. [/color][/color][/*][/list][br]Tot seguit veurem altres objectes que podem incloure en la construcció.[br][br][list][*][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)]Per dibuixar les[color=#000000] funcions amb valor constant de l'una de les variables a la finestra gràfica [/color]hem d'escriure: [b]f1=f(x(A),x)[/b] i [b]f2=f(x,y(A))[/b]. Cal posar la lletra x en ambdós casos perquè GeoGebra ho identifiqui com a funcions d'una variable. [/color][/color][color=rgb(51, 51, 51)]Tot seguit dibuixem els punts [b]P1=f1(x(A),f(A)) [/b]i [b]P2=f2(y(A),f(A)) [/b]que es situen en cada una de les funcions i podem dibuixar les rectes tangents utilitzant l'eina [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon] amb el corresponent pendent amb l'eina [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slope.png[/icon].[/color][/*][*]Per a les [color=#ff0000][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)][color=#980000][color=#38761D][color=rgb(51, 51, 51)][color=#cc0000]rectes tangents a les corbes de nivell [/color][/color][/color][/color][/color][/color][/color]en el punt A ens caldrà definir el vector[b] u=(-fy(A),fx(A))[/b]. Dibuixarem la corba de nivell en el punt A amb l'expressió [b]CorbaImplícita(f(x,y)-f(A))[/b] i escriurem [b]Recta(A,u)[/b].[/*][*]Podem dibuixar totes les corbes de nivell entre dos valors donats, per exemple -5 i 5, amb un interval igual a 0,5 amb l'expressió: [b]Seqüència(CorbaImplícita(f(x,y)-k),k,-5,5,0.5)[/b]. Per a l'interval podem fer servir un punt lliscant.[/*][/list]