Winkel 1 (5. Schulstufe)
[b]Winkel schätzen, berechnen, messen und zeichnen (5. Schulstufe)[/b]
Table of Contents
- Winkel und Winkelmaß
- Winkel: Beispiele und Bezeichnungen
- Winkelarten
- Winkelmaß
- Winkel zeichnen
- Spitze und stumpfe Winkel
- Erhabene Winkel
- Winkel messen
- Winkel in geometrischen Figuren
- Höhen- und Tiefenwinkel
- Winkelmaße berechnen
- Zentriwinkel von Kreissektoren
- Winkel zwischen Uhrzeigern
- Weitere Übungen
- Übungen ohne Computer
Winkel: Beispiele und Bezeichnungen
Beispiel 1: Stiege
[list][*]Bewege den grünen Punkt, um die Stiege steiler oder flacher zu machen.[br][br][/*][*]Klicke dann auf das Kontrollkästchen: [br]Der [b]Neigungswinkel[/b] der Stiege wird angezeigt.[br]Bewege wieder den grünen Punkt.[br][/*][/list]
Frage 1
Je steiler die Stiege ist, desto ... ist der Neigungswinkel.
Beispiel 2: Sichtbereich
[list][*]Welche Bäume kann man vom Punkt P aus sehen, wenn man durch das linke oder rechte Fenster schaut?[br]Beantworte die Fragen 2a und 2b zuerst, ohne das Kontrollkästchen anzuklicken. [br]Nachher kannst du zur Kontrolle die [b]Sichtwinkel[/b] anzeigen lassen.[br][/*][/list]
Frage 2a
Welche Bäume sieht man durch das [b]linke[/b] Fenster?
Frage 2b
Welche Bäume sieht man durch das [b]rechte[/b] Fenster?
Beispiel 3: Zahnräder
[list][*]Die Drehung der Zahnräder startet, wenn du [math]\blacktriangleright[/math] anklickst. [br]Mit einem Klick auf [math]\mid\mid[/math] kannst du die Drehung anhalten.[br][br][/*][*]Beobachte die Bewegung und beantworte die Frage 3.[br]Nachher kannst du zur Kontrolle die [b]Drehwinkel[/b] anzeigen lassen.[/*][/list]
Frage 3
[list][*]Während einer vollen Umdrehung des kleinen Zahnrads macht das große Zahnrad ...[/*][/list]
Begriffe und Bezeichnungen
[br]Wir haben Winkel verwendet, um sichtbar zu machen,[br][list][*]wie steil eine Stiege ist,[/*][*]welchen Bereich man durch ein Fenster sehen kann,[/*][*]wie weit sich Zahnräder in einer bestimmten Zeitspanne drehen.[br][/*][/list][br]Ein Winkel wird durch zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt festgelegt.[br]Die beiden Strahlen nennt man die [b]Schenkel[/b] des Winkels, den Anfangspunkt nennt man den [b]Scheitel[/b].[br][br]Winkel werden mit einem Kreisbogen und einem griechischen Buchstaben ([math]\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,...,\varphi,\psi,...[/math]) gekennzeichnet.[br]Es kommt nicht darauf an, wie groß der Radius des Bogens ist; man wählt ihn so, dass die Zeichnung übersichtlich ist. [br]
Zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt legen nicht nur einen, sondern zwei Winkel fest.[br][br]Damit man die beiden Winkel durch die Schreibweise unterscheiden kann, muss man eine Reihenfolge der beiden Schenkel vereinbaren:[br]Dreht man den ersten Schenkel [b]gegen den Uhrzeigersinn[/b], so erhält man den zweiten Schenkel des Winkels. [br]Daher sind [math]\sphericalangle ab \text{ und }\sphericalangle ba[/math] zwei verschiedene Winkel.[br](Durch eine Pfeilspitze an einem Ende des Winkelbogens kann man die Reihenfolge verdeutlichen.)
Lies: "[i]alpha ist gleich Winkel a b[/i]"; "[i]beta ist gleich Winkel BSA[/i]".[br][br]Beachte die Reihenfolge:[br][i]1. Schenkel - 2. Schenkel[/i] bzw. [i]Punkt auf dem 1. Schenkel - Scheitel - Punkt auf dem 2. Schenkel[/i].
Frage 4a
Welche Bezeichnungen für den Winkel [math]\gamma[/math] (gamma) sind richtig?
Frage 4b
Welche Bezeichnungen für den Winkel [math]\delta[/math] (delta) sind richtig?
Griechisches Alphabet
Spitze und stumpfe Winkel
Wie zeichnet man Winkel mit dem Geodreieck oder TZ-Dreieck?
[br]Wir drehen das Dreieck um den Scheitel des Winkels.[br]Die Kante des Dreiecks wird zuerst auf den ersten Schenkel gelegt und gibt nach der Drehung die Richtung des zweiten Schenkels an. [br]Bei einem spitzen Winkel dreht man um weniger als 90°, bei einem stumpfen um mehr als 90°[br][br][size=85]Bei dieser Methode muss man das Dreieck nicht neu anlegen. Außerdem kann man so besser erkennen, von welcher Winkelskala man ablesen muss.[/size]
[b][color=#6aa84f]Wähle ein Winkelmaß zwischen 0° und 180° aus.[/color][/b][br][br][b][color=#0000ff]1. Das Geogebra-Applet zeigt, wie man das Geodreieck oder TZ-Dreieck sinnvoll verwendet:[/color][/b][list][*]Bewege den grünen Punkt, bis das gewünschte Winkelmaß angezeigt wird.[/*][/list][br][b][color=#0000ff]2. Führe die Konstruktion auf Papier aus:[/color][/b][br][list][*]Zeichne den Scheitel S und den ersten Schenkel a des Winkels und beschrifte sie.[/*][*]Drehe das Geodreieck um S gegen den Uhrzeigersinn, bis das gewünschte Winkelmaß auf der Winkelskala genau über a liegt. (Betrachte nur jene Skala, auf der die Winkelmaße bei der Drehung immer größer werden.)[/*][*]Halte das Dreieck fest und zeichne jetzt den zweiten Schenkel b ein.[/*][*]Kennzeichne den Winkel auch durch einen Kreisbogen und ergänze die Beschriftung. [br][/*][/list]
Winkel in geometrischen Figuren
Wie misst man die Winkel einer Figur mit dem Geodreieck oder TZ-Dreieck?
[br]Man kann das Dreieck wie beim Zeichnen eines Winkels am ersten Schenkel anlegen.[br]Dann dreht man es um den Scheitel des Winkels bis zum zweiten Schenkel und liest die Größe des Winkels auf der Skala ab - natürlich auf jener Skala, bei der die Werte während der Drehung größer werden. [br][br][size=85]Im Applet wird immer [b]gegen[/b] den Uhrzeigersinn gedreht.[br]Man kann das Dreieck auch am anderen Winkelschenkel anlegen und [b]im[/b] Uhrzeigersinn drehen; man muss wieder darauf achten, auf welcher Winkelskala die Werte während der Drehung zunehmen.[/size]
Aufgabe 1
[b]Verwende das Geogebra-Applet:[/b][br][list][*]Drehe das Geodreieck um den Punkt A, bis der grüne Punkt auf dem anderen Winkelschenkel liegt.[br]Das Maß des Drehwinkels wird angezeigt.[br][/*][*]Bei B, C und E funktioniert das ebenso.[/*][*]Beim Punkt D wird das Dreieck so weit gedreht, bis der grüne Punkt auf der Verlängerung der Seite CD liegt. Zum abgelesenen Winkelmaß muss daher noch 180° addiert werden.[/*][*]Kontrolliere die Ergebnisse.[br][/*][/list]
Aufgabe 2
[b]Messung mit einem Geodreieck / TZ-Dreieck:[/b][br][list][*]Drucke das folgende Fünfeck aus.[/*][*]Bestimme die Winkelmaße, indem du wie oben vorgehst.[br](Manchmal muss man die Seiten verlängern, um das Winkelmaß ablesen zu können.)[br][/*][/list]
Aufgabe 3
Konstruiere ein Rechteck ABCD mit den Seitenlängen [math]\overline{AB}=8\ cm[/math] und [math]\overline {AD}=5\ cm[/math].[br]Zeichne die Diagonalen und den Mittelpunkt M ein. [br][br]Zeichne die Winkel [math]\varphi=\measuredangle CMD[/math] und [math]\psi=\measuredangle MBA[/math] ein und miss ihre Größe.
Zentriwinkel von Kreissektoren
[list][*]Stelle die gewünschte Anzahl von Sektoren ein.[/*][*]Berechne den Zentriwinkel eines Sektors (= Winkel beim Mittelpunkt des Kreises).[/*][*]Überprüfe dein Ergebnis.[br][/*][/list]
Übungen ohne Computer
Arbeitsblatt_Winkel
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