Studiere im GeoGebra Manual die Einträge "[b]Trend[/b]", "[b]TrendPot[/b]", "[b]TrendPoly[/b]", "[b]TrendExp[/b]" und "[b]TrendExp2"[/b].[br][br]Löse die folgenden Aufgaben durch Erzeugung von Regressionskurven als Funktionen. Trage dazu die gegebenen Werte in der Tabellenansicht ein und erzeuge mithilfe eines dynamischen Bezugs eine Liste von Punkten. Vergleiche bei dieser Aufgabe die klassische Verwendung des CAS mit der Verwendung geeigneter "Trend"-Befehle.[br]

Die Funktion [math]f[/math] hat die Form [math]f\left(x\right)=ax^3+c[/math] mit [math]a,c\in\mathbb{R}[/math]. Gib [math]a[/math] und [math]c[/math] an. [i](Mathematik verstehen, Nr. 3.29b, Woschitz, 2024)[/i]

Gegeben sei eine Funktion [math]g[/math] der Form[math]g\left(x\right)=d\cdot log_b\left(x\right)[/math] mit [math]b,d\in\mathbb{R}^+,[/math] [math]b\ne1[/math], deren Graph die Punkte [math]\left(1,0\right)[/math] und [math]\left(2,2\right)[/math] enthält. Ermittle [math]b[/math] und [math]d[/math].[br]

Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Gifts, nach einem weiteren Jahr noch 1 mg vorhanden. Es sei N(t) die Giftmenge (in Milligramm pro Liter Wasser) t Jahre nach der Verseuchung.[br]a) Stelle eine Formel für N(t) auf.[br]b) Welche Giftmenge ist nach 4 Jahren bzw. nach 6 Jahren noch vorhanden.[br][i](Mathematik verstehen, Nr. 4.27, Woschitz, 2024)[/i]

Exponentielle Abnahme modellieren [i](Mathematik verstehen, Nr. 4.64, adaptiert, Woschitz, 2024)[/i][br][br]Die Höhe des Bierschaums in einem Glas wurde alle 20 s gemessen.[br][table][tr][td]Zeit t (in s)[/td][td] 0[/td][td]20[/td][td]40[/td][td]60[/td][td]80[/td][td]100[/td][td]120[/td][/tr][tr][td]Höhe (in mm)[/td][td] 30[/td][td]26[/td][td]23[/td][td]19[/td][td]17[/td][td]15[/td][td]13[/td][/tr][/table][br]a) Zeichne die zur Tabelle gehörenden Punkte in ein Diagramm ein![br][br]b) Begründe, warum man von einer näherungsweisen exponentiellen Abnahme [br]der Schaumhöhe sprechen kann, und gib eine passende Termdarstellung der [br]Funktion [math]h:t\longrightarrow h(t)[/math][br] an![br][br]c) Man spricht von „sehr guter Bierschaumhaltbarkeit“, wenn die [br]Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2 min beträgt. Liegt im [br]vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vor?[br][br]d) Wie gut passt das Modell zu den Messwerten? Versuche die Passgenauigkeit in Zahlen auszudrücken.