[br]Niech punkt [math]P_0 = (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2[/math] będzie ustalonym rozwiązaniem równania [center][math]F(x,y)=0[/math].[/center]Dalej będziemy zajmować się problemem istnienia funkcji uwikłanej powyższym równaniem i określonej na pewnym otoczeniu [math]U(x_0)[/math] punktu [math]x_0[/math] (lub otoczeniu [math]U(y_0)[/math] punktu [math]y_0[/math]). Taka funkcja może nie istnieć, ale może też być ich kilka, co ilustruje poniższe ćwiczenie.

Podany aplet przedstawia zbiór [math]S[/math] opisany równaniem [math]F(x,y)=0[/math] dla funkcji [math]F(x,y)=x^4-2x^2+5y^2[/math] (por. [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Lemniskata_Gerona]Lemniskata Gerona[/url]). Swobodny punkt [math]P_0[/math] leży na krzywej [math]S[/math], rozważamy funkcje zmiennej [math]x[/math] uwikłane równaniem [math]F(x,y)=0[/math], których wykres przechodzi przez punkt [math]P_0[/math]. [br]Zastanów się, zmieniając położenie punktu [math]P_0[/math], dla jakich punktów możemy wskazać otoczenia, na których istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana. Przez które punkty przechodzi więcej niż jedna funkcja uwikłana i w otoczeniu których nie istnieje żadna funkcja uwikłana? Co się dzieje w otoczeniu wskazanych punktów [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] i [math]D[/math]? [br][color=#666666][br][i][size=85]Suwakami [math]\scriptstyle v[/math] i [math]\scriptstyle h[/math] możemy zmieniać wielkość prostokątnego otoczenia punktu [math]\scriptstyle P_0[/math]. [/size][br][/i][/color]